Hans Walser, [20260218]
Diophantische Gleichung
1 Ausgangsproblem
Gesucht sind alle Lösungen der diophantischen Gleichung:
a2 + b2 = 13002
Geometrische Interpretation des Problems: gesucht sind alle pythagoreischen Dreiecke mit der Hypotenusenlänge 1300.
2
Brute
force
Eine systematische Suche ergibt die 16 Lösungen der Tabelle 1. Im Wesentlichen sind es nur acht Lösungen, die restlichen Lösungen ergeben sich durch Vertauschen von a und b.
|
Nr. |
a |
b |
|
|
1 |
0 |
1300 |
Triviale Lösung |
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2 |
144 |
1292 |
|
|
3 |
320 |
1260 |
|
|
4 |
364 |
1248 |
|
|
5 |
500 |
1200 |
|
|
6 |
660 |
1120 |
|
|
7 |
780 |
1040 |
|
|
8 |
816 |
1012 |
|
|
9 |
1012 |
816 |
|
|
10 |
1040 |
780 |
|
|
11 |
1120 |
660 |
|
|
12 |
1200 |
500 |
|
|
13 |
1248 |
364 |
|
|
14 |
1260 |
320 |
|
|
15 |
1292 |
144 |
|
|
16 |
1300 |
0 |
Triviale Lösung |
Tab. 1: Die 16 Lösungen
Die Abbildung 1 zeigt die 16 Lösungen als pythagoreische Dreiecke. Die Außenecken der pythagoreischen Dreiecke liegen auf einem Viertelkreis mit dem Radius 1300.
Abb. 1: Die 16 Lösungen
Die Abbildung 2 zeigt eine andere Anordnung der 16 Lösungen. Die Hüllkurve ist Teil einer Astroide, also kein Viertelkreis.
Abb. 2: Andere Anordnung
Die Abbildung 3 zeigt einen kinematischen Übergang zwischen den beiden Anordnungen.
Abb. 3: Kinematischer Übergang
3 Detailliertes Vorgehen
3.1 Primfaktoren
Zunächst die Primfaktorzerlegung von 1300:
1300 = 2•2•5•5•13
3.2 Hypotenusenlänge 2
Zur Hypotenusenlänge 2 gibt es kein pythagoreisches Dreieck.
3.3 Hypotenusenlänge 5
Zur Hypotenusenlänge 5 gibt es zwei pythagoreische Tripel: [3, 4, 5] und [4, 3, 5]. Wir skalieren diese mit dem Faktor 2•2•5•13 = 260 (gegenüber der Primfaktorzerlegung von 1300 fehlt ein Faktor 5) und erhalten die beiden Tripel:
[780, 1040, 1300] und [1040, 780, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 7 und Nr. 10 der Tabelle 1.
3.4 Hypotenusenlänge 13
Zur Hypotenusenlänge 13 gibt es zwei pythagoreische Tripel: [5, 12, 13] und [12, 5, 13]. Wir skalieren diese mit dem Faktor 2•2•5•5 = 100 (gegenüber der Primfaktorzerlegung von 1300 fehlt der Faktor 13) und erhalten die beiden Tripel:
[500, 1200, 1300] und [1200, 500, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 5 und Nr. 12 der Tabelle 1.
3.5 Wie geht es weiter?
Zu zwei gegebenen pythagoreischen Tripeln können wir zwei weitere konstruieren (Anleitung hier). Die Hypotenusenlänge der beiden weiteren Tripel ist das Produkt der Hypotenusenlängen der beiden gegebenen Tripel.
3.6 Hypotenusenlänge 25
Zu den beiden Tripeln [3, 4, 5] und [3, 4, 5] erhalten wir die beiden Tripel [7, 24, 25] und [25, 0, 25]. Nach Skalierung mit dem Faktor 52 ergibt dies die Tripel:
[364, 1248, 1300] und [1300, 0, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 4 und Nr. 16 der Tabelle 1.
Zu den beiden Tripeln [3, 4, 5] und [4, 3, 5] erhalten wir die beiden Tripel [0, 25, 25] und [24, 7, 25]. Nach Skalierung mit dem Faktor 52 ergibt dies die Tripel:
[0, 1300, 1300] und [1248, 364, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 1 und Nr. 13 der Tabelle 1.
Weiteres Vertauschen bringt nichts neues.
3.7 Hypotenusenlänge 65
Zu den beiden Tripeln [3, 4, 5] und [5, 12, 13] erhalten wir die beiden Tripel [33, 56, 65] und [63, 16, 65]. Nach Skalierung mit dem Faktor 20 ergibt dies die Tripel:
[660, 1120, 1300] und [1260, 320, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 6 und Nr. 14 der Tabelle 1.
Zu den beiden Tripeln [3, 4, 5] und [12, 5, 13] erhalten wir die beiden Tripel [16, 63, 65] und [56, 33, 65]. Nach Skalierung mit dem Faktor 20 ergibt dies die Tripel:
[320, 1260, 1300] und [1120, 660, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 3 und Nr. 11 der Tabelle 1.
3.8 Hypotenusenlänge 325
Zu den beiden Tripeln [7, 24, 25] und [5, 12, 13] erhalten wir die beiden Tripel [253, 204, 325] und [323, 36, 325]. Nach Skalierung mit dem Faktor 4 ergibt dies die Tripel:
[1012, 816, 1300] und [1292, 144, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 9 und Nr. 15 der Tabelle 1.
Zu den beiden Tripeln [7, 24, 25] und [12, 5, 13] erhalten wir die beiden Tripel [36, 323, 325] und [204, 253, 325]. Nach Skalierung mit dem Faktor 4 ergibt dies die Tripel:
[144, 1292, 1300] und [816, 1012, 1300]
Dies sind die Lösungen Nr. 2 und Nr. 8 der Tabelle 1.
Weblinks
Hans Walser: Potenzen pythagoreischer Dreiecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Potenzen_pyth_Dreiecke/Potenzen_pyth_Dreiecke.html
Hans Walser: Produkt pythagoreischer Dreiecke