Hans Walser, [20251016]

Dreieck vierteln

1 Worum es geht

Zerlegungsgleichheit in der Geometrie des gleichseitigen Dreiecks

2 Problemstellung

Ein gleichseitiges Dreieck soll unter Beibehaltung der dreiteiligen Rotationssymmetrie in vier flächengleiche Teile zerlegt werden.

3 Beispiele

3.1 Der Klassiker

Abb. 1: Der Klassiker

3.2 Der Goldene Schnitt

Die drei Binnenstrecken werden im Verhältnis des Goldenen Schnittes unterteilt.

Abb. 2: Der Goldene Schnitt

Die zentralen kleinen gleichseitigen Dreiecke in den Abbildungen 1 und 2 sind gleich groß, flächenmäßig je ein Viertel des großen gleichseitigen Dreiecks.

4 Eine allgemeine Lösung

Die Abbildung 3 zeigt eine allgemeine Lösung.

Abb. 3: Allgemeine Lösung

Die Konstruktion geht so: Der Inkreis des zentralen gleichseitigen Dreieckes ist längenmäßig halb groß wie der Inkreis des großen Dreiecks (Abb. 4). Flächenmäßig erhalten wir somit einen Viertel.

Von einem beliebigen Punkt auf einer Seite des großen Dreiecks kann nun eine Tangente an diesen Inkreis gezeichnet werden. Mit der dreiteiligen Rotationssymmetrie wird zur Figur ergänzt.

Abb. 4: Konstruktion mit Inkreis

5 Zerlegungsgleichheit

Die Flächengleichheit der vier Einzelteile kann mit gemeinsamen Zerlegungen gezeigt werden. Die Abbildung 5 illustriert die gemeinsame Zerlegung im Sonderfall des Goldenen Schnittes.

Im kleinen gleichseitigen Dreieck in der Mitte folgt die Zerlegung nicht der dreiteiligen Rotationssymmetrie der Figur.

Abb. 5: Gemeinsame Zerlegung beim Goldenen Schnitt

Die Abbildung 6 illustriert den allgemeinen Fall der Abbildung 3. Die Zerlegung benötigt nur drei Teile.

Abb. 6: Zerlegungsgleichheit im allgemeinen Fall

Die Abbildung 7 zeigt eine konsistente Zerlegung für das allgemeine Beispiel.

Abb. 7: Zerlegungsgleichheit

Die Abbildung 8 zeigt eine Version mit fortlaufender Drehung (Stimmt das wirklich?).

Abb. 8: Fortlaufende Drehung

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7

Weblinks

Hans Walser: Vierteln regelmäßiger Vielecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vierteln/Vierteln.htm

Hans Walser: Vierteln regelmäßiger Vielecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vierteln2/Vierteln2.htm