Hans Walser, [20260128]

Dritte Potenz

1 Worum es geht

Spielerei mit der Adjunktion von √r zu den reellen Zahlen

Zwei Vermutungen

2 Die Zahlen

Wir arbeiten mit Zahlen von der Form:

x + y√r

Dabei sind x, y und r reelle Zahlen.

Für r = –1 ergeben sich die komplexen Zahlen.

3 Dritte Potenz

Es ist:

(x + y√r)³ = x³ + 3rxy² + 3x²y√r + ry³√r

4 Abbildungsgleichungen

Zur Visualisierung arbeiten wir mit den Abbildungsgleichungen:

u (x, y) = x³ + 3rxy²

v (x, y) = 3x²y + ry³

Den Definitionsbereich beschränken wir auf das Einheitsquadrat im ersten Quadranten.

5 Beispiele

Wir bilden das Einheitsquadrat im ersten Quadranten ab. Es werden die Netzlinien (Rasterung im Urbild ⅕) und die vom Ursprung ausgehend Diagonalen des Einheitsquadrates gezeichnet. Das Urbild ist grün, das Bild rot.

5.1 r = –1

Für r = –1 erhalten wir das vertraute Bild der konformen kubischen Funktion in ℂ (Abb. 1).

Abb. 1: r = –1

5.2 Variation von r

Die Abbildungssequenz 2 zeigt die Situationen für r ∈ {–2, –1, 0, 1, 2}.

Abb. 2: Situationen für r ∈ {–2, –1, 0, 1, 2}

Die Abbildung 3 zeigt die Situationen für r ∈ [–4 ... 2].

Abb. 3: Situationen für r ∈ [–4 ... 2]

5.3 Bahnkurve

Die obere Ecke (Bild des Punktes (1, 1) läuft auf der Geraden mit der Gleichung x – 3y + 8 = 0 (Abb. 4).

Abb. 4: Gerade Bahnkurve

5.4 Gesicht der Abbildung

In das grüne Einheitsquadrat zeichnen wir ein Gesicht (Abb. 5).

Abb. 5: Gesicht im Einheitsquadrat

Die Abbildung 6 zeigt die Deformation des Gesichtes bei Variation von r.

Abb. 6: Deformation des Gesichtes

5.5 Bild des Einheitskreises

Wir beginnen mit dem grünen Einheitskreis (Abb. 7).

Abb. 7: Einheitskreis

Die Abbildung 8 zeigt das Bild dieses Einheitskreises für r ∈ [–4 ... 2]. Die Kurven verlaufen durch die Punkte (±1, 0) sowie durch die Punkte (0, ±r).

Abb. 8: Bild des Einheitskreises für r ∈ [–4 ... 2]

Die Abbildung 8 zeigt das Bild des Einheitskreises für r ∈ [–50 ... 50].

Abb. 9: Bild des Einheitskreises für r ∈ [–50 ... 50]

Für r = –1 erhalten wir den dreifach durchlaufenen Einheitskreis (Abb. 10).

Abb. 10: r = –1

Der dreifache Durchlauf wird sichtbar, wenn wir r von –0.9 bis –1.1 variieren (Abb. 11).

Abb. 11: Dreifacher Durchlauf

Für r = 0 ergibt sich eine liegende Acht (Abb. 12).

Abb. 12: r = 0

Für r = 1 ergibt sich eine Figur mit vier Spitzen (Abb. 13.1).

Abb. 13.1: r = 1

Ich vermute, dass es sich um die Epizykloide handelt, die beim Abrollen eines Kreise mit dem Radius ½ im Innern eines Kreises mit dem Radius 2 entsteht (Abb. 13.2).

Abb. 13.2: Epizykloide

Die Abbildung 14.1 zeigt die Figur für r = 1000.

Abb. 14.1: r = 1000

Wir machen nun folgendes: Wir skalieren die Figur mit dem Faktor 1/r = 1/1000 drehen sie um π/2. Die entstehende Figur (Abb. 14.2) ist optisch deckungsgleich mit der Figur für r = 0 (Abb. 12).

Abb. 14.2: Skaliert und gedreht

Ich vermute, dass für r → ±∞ die entsprechend skalierte und gedrehte Figur sich der Figur für r = 0 annähert.

Weblink

Hans Walser: Quadrieren

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/index.html

Hans Walser: Vierte Potenz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vierte_Potenz/Vierte_Potenz.html