Hans Walser, [20260129]

Vierte Potenz

1 Worum es geht

Spielerei mit der Adjunktion von √r zu den reellen Zahlen

Auflistung von Phänomenen

Vermutungen

Rollkurve

2 Die Zahlen

Wir arbeiten mit Zahlen von der Form:

x + y√r

Dabei sind x, y und r reelle Zahlen.

Für r = –1 ergeben sich die komplexen Zahlen.

3 Dritte Potenz

Es ist:

(x + y√r)⁴ = x⁴ + 6rx²y² + r²y⁴ + 4x³y√r + 4rxy³√r

4 Abbildungsgleichungen

Zur Visualisierung arbeiten wir mit den Abbildungsgleichungen:

u (x, y) = x⁴ + 6rx²y² + r²y⁴

v (x, y) = 4x³y + 4rxy³

Den Definitionsbereich beschränken wir auf das Einheitsquadrat im ersten Quadranten.

5 Beispiele

Wir bilden das Einheitsquadrat im ersten Quadranten ab. Es werden die Netzlinien (Rasterung im Urbild ⅕) und die vom Ursprung ausgehend Diagonalen des Einheitsquadrates gezeichnet. Das Urbild ist grün, das Bild rot.

5.1 r = –1

Für r = –1 erhalten wir das vertraute Bild der konformen Potenzfunktion vierten Grades in ℂ (Abb. 1).

Abb. 1: r = –1

5.2 Variation von r

Die Abbildung 2 zeigt die Situationen für r ∈ [–4 ... 2].

Abb. 2: Situationen für r ∈ [–4 ... 2]

5.3 Bahnkurve

Die blaue Bahnkurve der oberen Ecke (Bild des Punktes (1, 1) ist eine liegende Parabel mit der Gleichung 16x – y² – 16y + 64 = 0 (Abb. 3).

Abb. 3: Bahnkurve

5.4 Gesicht der Abbildung

In das grüne Einheitsquadrat zeichnen wir ein Gesicht (Abb. 4).

Abb. 4: Gesicht im Einheitsquadrat

Die Abbildung 5 zeigt die Deformation des Gesichtes bei Variation von r.

Abb. 5: Deformation des Gesichtes

5.5 Bild des Einheitskreises

Wir beginnen mit einem halben Einheitskreis (Abb. 6).

Abb. 6: Halber Einheitskreis

Die Abbildungen 7 zeigen die Bildfigur für r ∈ [–4 ... 2] sowie für r ∈ [–10 ... 10] . Die Kurven verlaufen durch die beiden Punkte (1, 0) und (r², 0).

Abb. 7.1: r ∈ [–4 ... 2]

Abb. 7.2: r ∈ [–10 ... 10]

Für r = –1 ergibt sich der doppelt durchlaufene Einheitskreis (Abb. 8.1).

Abb. 8.1: Doppelt durchlaufener Einheitskreis

Den doppelten Durchlauf erkennen wir, wenn wir r in [–1.1 ... –0.9] variieren (Abb. 8.2).

Abb. 8.2: Der doppelte Durchlauf wird sichtbar

Für r = 1 ergibt sich vermutlich ein Stück der Parabel mit der Gleichung 4x – y² – 4 = 0 (Abb. 9).

Abb. 9: r = 1

Für r = 3 ergibt sich eine Kurve mit vermutlich den Symmetrien des regelmäßigen Dreiecks (Abb. 10.1 und Abb. 10.2).

Abb. 10.1: r = 3

Abb. 10.2: Einpassen in ein regelmäßiges Dreieck

Die Kurve ist vermutlich eine Rollkurve (verkürzte Hypozykloide, Hypotrochoide) (Abb. 10.3). Der Schreibstift befindet sich in der Mitte der Speiche des Gangkreises.

Abb. 10.3: Rollkurve

Weblinks

Hans Walser: Quadrieren

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrieren/Quadrieren.html

Hans Walser: Dritte Potenz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dritte_Potenz/Dritte_Potenz.html