Hans Walser, [20260124]

Quadrieren

1 Worum es geht

Spielerei mit der Adjunktion von √r zu den reellen Zahlen.

2 Die Zahlen

Wir arbeiten mit Zahlen von der Form:

x + y √r

Dabei sind x, y und r reelle Zahlen.

Für r = –1 ergeben sich die komplexen Zahlen.

3 Quadrieren

Es ist:

(x + y √r)² = x² + ry² + 2xy √r

4 Abbildungsgleichungen

Zur Visualisierung arbeiten wir mit den Abbildungsgleichungen:

u (x, y) = x² + ry²

v (x, y) = 2xy

Da die Abbildungsgleichungen homogen vom Grad 2 sind (wegen der Quadratur), können wir uns beim Definitionsbereich auf eine Halbebene beschränken.

5 Beispiele

Wir bilden das Einheitsquadrat im ersten und im vierten Quadranten ab. Es werden die Netzlinien (Rasterung im Urbild ⅕) und die vom Ursprung ausgehenden Diagonalen der beiden Einheitsquadrate gezeichnet. Das Urbild ist grün, das Bild rot.

5.1 r = –1

Für r = –1 erhalten wir das vertraute Bild der konformen Quadratfunktion in ℂ (Abb. 1).

Abb. 1: r = –1

5.2 Verschiedene Werte für r

Die Abbildungssequenz 2 zeigt die Situationen für r ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}. Die roten Netzlinien sind quadratische Parabeln.

Abb. 2: r ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}

Die Abbildung 3 gibt die Kinematik für r ∈ [–4 ... 2]. Die nach rechts offenen Parabeln (Netzlinien für konstantes y) werden parallel verschoben.

Abb. 3: Kinematik

5.3 Gesicht der Abbildung

Im ersten Quadranten zeichnen wir ein Gesicht (Abb. 4).

Abb. 4: Urbild des Gesichtes

Die Abbildung 5 zeigt das rote Bild des Gesichtes für r ∈ [–4 ... 2].

Abb. 5: Bildgesicht

5.4 Bild des Einheitskreises

Wir zeichnen den Einheitskreis im ersten und im vierten Quadranten (Abb. 6).

Abb. 6: Halber Einheitskreis

Sein Bild für r ∈ [–4 ... 2] sind Ellipsen (Abb. 7).

Abb. 7: Bild des halben Einheitskreises

Für r = –1 ergibt sich der volle Einheitskreis (Abb. 8.1), für r = 1 eine doppelt durchlaufene senkrechte Strecke (Abb. 8.2).

Abb. 8.1: Sonderfall r = –1

Abb. 8.2: Sonderfall r = 1

Weblinks

Hans Walser: Dritte Potenz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dritte_Potenz/Dritte_Potenz.html

Hans Walser: Vierte Potenz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vierte_Potenz/Vierte_Potenz.html