Hans Walser, [20250810]

Einheitskreis

1 Worum es geht

Variationen zur Parametrisierung des Einheitskreises

2 Klassisch

In der Schule wird der Einheitskreis parametrisiert wie folgt: Zu den beiden orthogonalen Einheits-Vektoren e = [1, 0] und f = [0, 1] ist die Kurve mit der Parameterdarstellung

e cos(t) + f sin(t), t = 0 .. 2π

der Einheitskreis (Abb. 1).

Abb. 1: Klassische Darstellung

3 Zielsetzung

Wir versuchen, mit zwei beliebigen linear unabhängigen Vektoren sowie ausschließlich der Funktion Kosinus zum Einheitskreis zu kommen.

3.1 Kosinus

Wegen sin(t) = cos(t – π/2) können wir auf die Sinusfunktion verzichten.

3.2 Ellipse

Wenn wir einfach die Vektoren e und f abändern, zum Beispiel e = [4, 1] und f = [1, 2], die Parameterdarstellung

e cos(t) + f sin(t), t = 0 .. 2π

aber belassen, ergibt sich eine Ellipse (Abb. 2). Die Vektoren e und f sind sogenannte konjugierte Halbmesser.

Abb. 2: Ellipse

3.3 Abänderung der Parameterdarstellung

Wir ändern die Parameterdarstellung in mehreren Schritten.

3.3.1 Normierung der Vektoren

Zunächst normieren wir die Vektoren e und f auf die Länge 1 (Abb. 3). Wir erhalten immer noch eine Ellipse.

Abb. 3: Normierung der Vektoren

3.3.2 Zwischenwinkel

Wir berechnen den Zwischenwinkel γ zwischen den Vektoren e und f. In unserem Beispiel mit e = [4, 1] und f = [1, 2] erhalten wir den Zwischenwinkel γ ≈ 0.8621700549 im Bogenmaß, also γ ≈ 49.39870536°.

3.3.3 Phasenverschiebung

Wir setzen:

ϕ = (π – γ)/2

Und nun arbeiten wir mit den auf die Länge 1 normierten Vektoren e und f in der Parameterdarstellung:

e cos(t – ϕ) + f cos(t + ϕ), t = 0 .. 2π

Wir arbeiten also ausschließlich mit der Kosinusfunktion und verwenden ϕ als positive und negative Phasenverschiebung. In unserem Beispiel mit e = [4, 1] und f = [1, 2] erhalten wir den Kreis der Abbildung 4.

Abb. 4: Kreis, aber noch nicht der Einheitskreis

3.3.4 Skalierung

Um auf den Einheitskreis zu kommen berechnen wir den zum Parameterwert t = 0 gehörenden Punkt P

P = e cos(– ϕ) + f cos(ϕ)

und skalieren den Kreis mit dem Kehrwert des Abstandes des Punktes P vom Ursprung (Abb. 5).

Abb. 5: Einheitskreis

3.4 Weitere Beispiele

3.4.1 Eng benachbarte Vektoren

Wir arbeiten mit den benachbarten Vektoren e = [4, 1] und f = [4, 1 + ε].

Für ε = 0.5 erhalten wir die Figur der Abbildung 6.1.

Abb. 6.1: ε = 0.5

Für ε = 0.01 erhalten wir die Figur der Abbildung 6.2. Die beiden Vektoren sind verschieden, aber von Auge nicht unterscheidbar.

Abb. 6.2: ε = 0.01

Für ε = 0 sind die beiden Vektoren e und f linear abhängig. Es gibt keinen Kreis mehr (Abb. 6.3). Oder, wenn man so will, einen Kreis in der Dimension 1, eine Strecke also.

Abb. 6.3: ε = 0

4 Weblinks

Hans Walser: Schiefe Ellipse

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schiefe_Ellipse/Schiefe_Ellipse.html