1 Worum es geht

Scherengeometrie

Ellipsen mit rationalem Achsenverhältnis

Unbekannte Kurvev

2 Symmetrische Scheren

Die Abbildung 1 zeigt drei, gelenkig verbundene, symmetrische Scheren.

Abb. 1: Drei Scheren

Der Basispunkt unten links ist fest. Der Basispunkt unten rechts gleitet hin und her.

Die Gelenkpunkte links bewegen sich auf einer Senkrechten zur Basis.

3 Problemstellung

Welches sind die Bahnkurven der Gelenkpunkte rechts?

4 Stehende Ellipsen

Der unterste Gelenkpunkt rechts bewegt sich auf einem Viertelkreis (Abb. 2).

Abb. 2: Bahnkurven

Der nächsthöhere Gelenkpunkt rechts bewegt sich auf einer Viertelellipse mit den Halbachsen 1 und 2.

Der wiederum nächsthöhere Gelenkpunkt rechts bewegt sich auf einer Viertelellipse mit den Halbachsen 1 und 3.

5 Nachweis

In einem geeigneten Koordinatensystem (Ursprung unten links, Einheit Kreisradius) hat der unterste Gelenkpunkt rechts die Parameterdarstellung:

[cos(t), sin(t)]

Der nächsthöhere Gelenkpunkt hat dieselbe x-Koordinate, aber eine doppelt so große y-Koordinate und damit die Parameterdarstellung:

[cos(t), 2sin(t)]

Entsprechend der wiederum nächsthöhere Gelenkpunkt:

[cos(t), 3sin(t)]

Wir können somit alle Viertelellipsen mit der Parameterdarstellung [cos(t), n sin(t)] mit einem entsprechenden Gelenkmodell mit n symmetrischen Scheren zeichnen.

6 Rationale Achsenverhältnisse

Wenn wir seitlich eine weitere Schere anbauen, können wir (Abb. 3) eine Viertellipse mit dem Achsenverhältnis 2:3 zeichnen.

Abb. 3: Achsenverhältnis 2:3

Entsprechend kann jede Ellipse mit einem rationalen Achsenverhältnis mit dem Scherengerät gezeichnet werden.

7 Asymmetrische Scheren

Bei asymmetrischen Scheren ergeben sich spiralartige Bahnkurven.

Abb. 4: Asymmetrische Scheren

Weblinks

Hans Walser: Ellipsenzirkel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsenzirkel/Ellipsenzirkel.html