1 Worum es geht

Summenformel der Fibonacci-Folge

Verallgemeinerung

2 Die klassische Summenformel

Die Tabelle 1 zeigt die Fibonacci-Folge und die Folge der Partialsummen.

n
1	1	1
2	1	2
3	2	4
4	3	7
5	5	12
6	8	20
7	13	33
8	21	54
9	34	88
10	55	143

Tab. 1: Fibonacci-Folge und Partialsummen

Wir sehen, dass:

Beweise siehe hier.

3 Veränderung der Startwerte

Wir arbeiten allgemein mit den Startwerten F₁ = p und F₂ = q (Tab. 2).

n
1	p	p
2	q	q + p
3	p + q	2 p + 2 q
4	p +2 q	3 p + 4 q
5	2 p + 3 q	5 p + 7 q
6	3 p + 5 q	8 p + 12 q
7	5 p + 8 q	13 p + 20 q
8	8 p + 13 q	21 p + 33 q
9	13 p + 21 q	34 p + 54 q
10	21 p + 34 q	55 p + 88 q

Tab. 2: Allgemeine Startwerte

Es gilt die Summenformel:

Also:

Beweis analog zum klassischen Fall.

4 Bemerkungen

(1) Bei allgemeinen Startwerten ergibt sich eine Linearkombination der klassischen Fibonacci-Folge.

(2) Die Summenformel erinnert an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bei der Exponentialfunktion, allerdings mit einem Versatz der Grenzen:

Weblinks

Hans Walser: Fibonacci-Summenformel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Summenformel/Fibonacci-Summenformel.html