Hans Walser, [20260527]

Fibonacci-Trapeze

1     Worum es geht

Eine Konstruktion mit gleichseitigen Dreiecken, welche zu gleichschenkligen Trapezen im Kontext der Fibonacci-Folge fn führt (Nummerierung beginnt mit 0):

 

            0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

 

2     Schrittweise Konstruktion

Wir beginnen mit einem gleichseitigen Dreieck als Basisdreieck (Abb. 0).

Abb. 0: Basisdreieck

2.1     Erster Schritt

Wir fügen zwei gleichseitige Basisdreiecke der Abbildung 0 zusammen gemäß Abbildung 1 und ergänzen zu einem Trapez. Das Trapez ist gleichschenklig und hat die Decklänge 1, die Schenkellänge 1 sowie die Basislänge 2. Die Zahlen 1, 1, 2 sind Teil der Fibonacci-Folge. Das Trapez besteht insgesamt aus drei gleichseitigen Dreiecken.

Abb. 1: Erster Schritt

2.2     Zweiter Schritt

Wir fügen zwei Trapeze der Abbildung 1 zusammen gemäß Abbildung 2 und ergänzen zum Trapez. Das Trapez ist gleichschenklig und hat die Decklänge 1, die Schenkellänge 2 sowie die Basislänge 3. Die Zahlen 1, 2, 3 sind Teil der Fibonacci-Folge. Das Trapez besteht insgesamt aus acht gleichseitigen Dreiecken.

Abb. 2: Zweiter Schritt

2.3     Dritter Schritt

Wir fügen zwei Trapeze der Abbildung 2 zusammen gemäß Abbildung 3 und ergänzen zum Trapez. Das Trapez ist gleichschenklig und hat die Decklänge 2, die Schenkellänge 3 sowie die Basislänge 5. Die Zahlen 2, 3, 5 sind Teil der Fibonacci-Folge. Das Trapez besteht insgesamt aus 21 gleichseitigen Dreiecken der Größe des Basisdreiecks. (Das große gleichseitige Dreieck besteht aus vier Basisdreiecken.)

Abb. 3: Dritter Schritt

2.4     Vierter Schritt

Wir fügen zwei Trapeze der Abbildung 3 zusammen gemäß Abbildung 4 und ergänzen zum Trapez. Das Trapez ist gleichschenklig und hat die Decklänge 3, die Schenkellänge 5 sowie die Basislänge 8. Die Zahlen 3, 5, 8 sind Teil der Fibonacci-Folge. Das Trapez besteht insgesamt aus 55 gleichseitigen Dreiecken der Größe des Basisdreiecks.

Abb. 4: Vierter Schritt

2.5     Die nächsten Schritte

Die Abbildungen 5 bis 7 zeigen die nächsten Schritte.

Abb. 5: Fünfter Schritt

Abb. 6: Sechster Schritt

Abb. 7: Siebter Schritt

3     Daten

Die Tabelle 1 gibt die ersten Daten.

 

Schritt

Decklänge

Schenkellänge

Basislänge

Anzahl Basisdreiecke

0

0

1

1

1 = 1 (0 + 1) = 12 – 02

1

1

1

2

3 = 1 (1 + 2) = 22 – 12

2

1

2

3

8 = 2 (1 + 3) = 32 – 12

3

2

3

5

21 = 3 (2 + 5) = 52 – 22

4

3

5

8

55 = 5 (3 + 8) = 82 – 32

5

5

8

13

144 = 8 (5 + 13) = 132 – 52

6

8

13

21

377 = 13 (8 + 21) = 212 – 82

7

13

21

34

987 = 21 (13 + 34)) = 342 – 132

Tab. 1: Daten

Wir erkennen die Fibonacci-Zahlen.

Der Schritt n ergibt ein gleichschenkliges Trapez mit der Decklänge fn, der Schenkellänge fn+1 und der Basislänge fn+2. Für die Anzahl An der Basisdreiecke ergeben sich verschiedene Formeln:

 

            An = f2n+2

 

            An = fn (fn–1 + fn+1)

 

            An = fn+12 – fn–12

           

 

Die Beweise können rechnerisch geführt werden.

 

Weblinks

Hans Walser: Fibonacci-Trapeze

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Trapeze/Fibonacci-Trapeze.htm