Hans Walser, [20241201]

Flächengleichheit

Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Worum es geht

Flächengleichheit im Dreieck

2 Konstruktion

In einem Dreieck mit seinen Schwerlinien wählen wir einen beliebigen Punkt (Abb. 1).

Abb. 1: Punkt im Dreieck

Diesen Punkt projizieren wir parallel zu den Schwerlinien auf die jeweils zugehörige Dreiecksseite (Abb. 2).

Abb. 2: Projektionen parallel zu den Schwerlinien

Nun zeichnen wir die sechs Dreiecke, welche je eine Ecke im Schwerpunkt des Dreiecks, eine Ecke in einem Eckpunkt des Dreiecks und die dritte Ecke in einem projizierten Punkt haben (Abb. 3). Die Dreiecke färben wir im Wechsel rot und blau.

Es gilt folgende Flächengleichheit:

Die Flächensumme der roten Dreiecke ist gleich der Flächensumme der blauen Dreiecke.

Abb. 3: rot = blau

3 Beweis

Gemäß Studie Längensatz (Abb. 10) gilt die Aussage für ein regelmäßiges Dreieck. Bei einer affinen Abbildung auf ein allgemeines Dreieck bleiben die für unseren Flächensatz relevanten Konstruktionselemente und Flächenverhältnisse invariant.

Weblinks

Hans Walser: Längensatz

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Laengensatz/Laengensatz.html