1 Worum es geht

Es werden exemplarisch Zerlegungen von zwei flächengleichen Dreiecken diskutiert.

2 Die beiden Dreiecke

Die beiden rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten 4 und 3 beziehungsweise 6 und 2 (Abb. 1) sind flächengleich und daher auch zerlegungsgleich (Satz von Wallace-Bolyai-Gerwien).

Abb. 1: Flächengleiche rechtwinklige Dreiecke

3 Endliche Zerlegung

Die Abbildung 2 zeigt eine gemeinsame Zerlegung mit fünf Teilen.

Abb. 2: Zerlegung

Die Teile können entweder durch eine Translation oder eine Drehung um 180° (dies entspricht einer Punktspiegelung) ineinander übergeführt werden (Abb. 3). Wir erkennen eine Schiene.

Abb. 3: Bewegen der Teile

Die Abbildung 4 zeigt eine subtile Form des Übergangs von einem Dreieck zum anderen. Die Punktspiegelungen gehen durchs Nadelöhr.

Abb. 4: Zerlegungsgleichheit

4 Unendliche Zerlegung

Wir legen die beiden Dreiecke so aufeinander, dass die rechten Winkel übereinstimmen, und nehmen als erstes Teil den Überlappungsbereich (Durchschnitt) der beiden Dreiecke (rot in Abb. 5). Das ist der größte Bereich, der in beide Dreiecke passt (greedy algorithm).

Abb. 5: Überlappung

Nun Spiegeln wir die Figur am Schnittpunkt der beiden Hypotenusen und nehmen wiederum das größte Teil, welches hineinpasst (gelb in Abb. 6).

Abb. 6: Punktspiegelung

Die jetzt noch weißen Teile sind ähnlich zu den beiden Startdreiecken (Abb. 7). Wir können sie also mit entsprechend verkleinerten Kopien des roten und der gelben Teile belegen.

Abb. 7: Füllen der ähnlichen Löcher

Es bleiben immer noch ähnliche Löcher über, welche wir ad infinitum belegen können. Schließlich haben wir unendlich viele ähnliche rote und ähnliche gelbe Teile (Abb. 8). Die Teile bilden eine geometrische Folge. In der Abbildung 8 sind natürlich nicht unendlich viele Teile gezeichnet, sondern nach dem Motto „eins, zwei, viel“ nur die drei ersten Generationen.

Abb. 8: Unendlich viele Teile

Die Abbildung 9 gibt in einem Gelenkmodell den Übergang von einem Dreieck zum anderen.

Abb. 9: Gelenkmodell

In der Abbildung 10 sind die beiden Dreiecke getrennt gezeichnet. Im Kontaktpunkt sehen wir eine verkleinere Kopie der Gesamtfigur.

Abb. 10: Separierte Dreiecke

Wenn wir in den Kontaktpunkt hineinzoomen, sehen wir immer wieder dieselbe Figur (Abb. 11).

Abb. 11: Hineinzoomen

Weblinks

Hans Walser: Flächengleiche rechtwinklige Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flgl_rw_Dreiecke/Flgl_rw_Dreiecke.htm