Hans Walser, [20241003]

Goldener Schnitt

Idee und Anregung: Wilfried Dutkowski, Bonn

1 Worum es geht

Kinematische Spielerei, bei der auch der Goldene Schnitt erscheint.

2 Quadrate im Quadrat

Die Abbildung 1 zeigt eine kinematische Spielerei.

Die schräge Gerade hat einen Drehpunkt rechts oben. Ihre Steigung variiert bei der Kinematik.

Abb.1: Quadrate im Quadrat

3 Spezielle Positionen

In speziellen Positionen sind ausschließlich vollständige Quadrate sichtbar, ohne dass das größte Quadrat rechts abgeschnitten wäre (Abb. 2). Wo sind diese speziellen Situationen?

Abb. 2: Spezielle Positionen

4 Bearbeitung

Wir bearbeiten den Fall mit n sichtbaren farbigen Quadraten (Abb. 3 für n = 4). Für die Rechnungen setzen wir die Seitenlänge des schwarzen Rahmenquadrates auf 1.

Abb. 3: Vier sichtbare farbige Quadrate

4.1 Geometrische Folge

Es seien s_k und s_k+1 die Seitenlängen zweier aufeinanderfolgender farbiger Quadrate. Für die Steigung m der schrägen Gerade gilt damit:

m = (s_k+1 – s_k)/s_k

Daraus ergibt sich:

s_k+1/s_k = m + 1

Innerhalb einer gegebenen Position, zum Beispiel der Abbildung 3, ist die Steigung m der schrägen Geraden fest. Die Seitenlängen der farbigen Quadrate bilden daher eine geometrische Folge mit dem Wachstumsfaktor q = m + 1.

Mit der Seitenlänge s₁ des kleinsten Quadrates folgt:

s₂ = qs₁, s₃ = q²s₁, ... s_n = q^n–1s₁

4.2 Einpassen in das schwarze Rahmenquadrat

Weiter ist s_n+1 die rechte Kante des schwarzen Rahmenquadrates mit der Länge 1. Es ist daher:

(1) qⁿs₁ = 1

Die Summe der Seitenlängen der farbigen Quadrate ist ebenfalls 1, nämlich die Bodenkante des schwarzen Rahmenquadrates:

(2) s₁ + s₂ + … + s_n = s₁(1 + q + q² + ... + q^n–1) = 1

Aus (1) und (2) ergibt sich für q die Bedingung:

(3) 1 + q + q² + ... + q^n–1 = qⁿ

Die Tabelle 1 gibt die ersten 10 Werte für q und den Grenzwert für n → ∞.

n	q
1	1
2	1.618033988	Goldener Schnitt
3	1.839286755
4	1.927561975
5	1.965948237
6	1.983582843
7	1.991964197
8	1.996031180
9	1.998029470
10	1.999018633
∞	2	Grenzwert

Tab. 1: Wachstumsfaktoren

Die Abbildung 4 zeigt die Grafen der Funktionen:

f_n: q → qⁿ – (1 + q + q² + ... + q^n–1) für n = 1 .. 10

Die positiven Nullstellen sind die Lösungen für Wachstumsfaktoren q.

Abb. 4: Funktionsgrafen

4.3 Sonderfälle

Für n = 1 ergibt sich das Rahmenquadrat (Abb. 5.1).

Abb. 5.1: Rahmenquadrat

Für n = 2 erhalten wir den Goldenen Schnitt (Abb. 5.2). Die Seitenlänge des roten Quadrates ist der Major, die Seitenlänge des blauen Quadrates der Minor.

Abb. 5.2: Goldener Schnitt

Für n → ∞ verdoppeln sich die Quadratseiten von Schritt zu Schritt (Abb. 5.3).

Abb. 5.3: Verdoppelung der Quadratseiten

Weblinks

Hans Walser: Quadratfolge

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadratfolge/Quadratfolge.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0