Hans Walser, [20241231]

Isometrische Orthodiagonalen

Anregung: Hans Humenberger, Wien

1 Worum es geht

Durch Ansetzen von Quadraten an ein beliebiges Viereck und deren ähnliche Unterteilung erhalten wir zwei gleich lange und orthogonale Strecken.

Die Aussage dürfte bekannt sein. Der Autor ist dankbar um entsprechende Hinweise.

2 Konstruktion

Einem beliebigen Viereck setzen wir Quadrate an (Abb. 1).

Abb. 1: Quadrate ansetzen

Die vier Quadrate unterteilen wir je von einem inneren Punkt aus in vier Dreiecke, so dass die Unterteilungen zueinander ähnlich sind (Abb. 2). Dreiecke gleicher Farbe sind ähnlich.

Abb. 2: Ähnliche Unterteilung

3 Gleich lange orthogonale Strecken

Die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Teilpunkte sind gleich lang und orthogonal (Abb. 3).

Abb. 3: Gleich lange und orthogonale Verbindungsstrecken

4 Beweis

Rechnerischer Beweis in der komplexen Ebene mit den Bezeichnungen der Abbildung 4.

Abb. 4: Bezeichnungen

Wir definieren P als Linearkombination von A und B:

P = A(1 – λ) + λB

Dabei ist λ eine komplexe Zahl.

Wegen der Ähnlichkeitsbedingung wird:

Q = i λB + C(1 – i λ)

R = C(i + λ) + D(1 – i – λ)

S = A(–i + i λ) + D(1 + i – i λ)

Damit wird:

R – P = A(–1 + λ) – λ B + C(i + λ) + D(1 – i – λ)

S – Q = A(–i + i λ) – i λ B + C(–1 + i λ) + D(1 + i – i λ)

Es ist:

i(R – P) = S – Q

Die Strecken PR und QS sind also gleich lang und orthogonal. Dies war zu zeigen.

Weblink

Hans Walser: Flächengleichheit

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechengleichheit9/Flaechengleichheit9.html