Hans Walser, [20260611]
Kaleidoskop
1 Worum es geht
Modellierung von Kaleidoskopen
2 Der Klassiker
Das klassische Kaleidoskop besteht aus einem innen verspiegelten Dreikantprisma. Für die zweidimensionale Modellierung arbeiten wir mit einem gleichseitigen Dreieck. Im Innern des gleichseitigen Dreiecks zeichnen wir eine beliebige Figur (Abb. 1).
Abb. 1: Figur im Dreieck
Nun spiegeln wir diese Figur an jeder Dreiecksseite (Abb. 2).
Abb. 2: Erster Schritt
Nun spiegeln wir die Gesamtfigur, also die Urbildfigur plus deren drei Spiegelbilder, an jeder Dreiecksseite (präziser: an der Trägergerade jeder Dreiecksseite) (Abb. 3).
Abb. 3: Zweiter Schritt
Bei diesem Schritt wird zum Beispiel der rote Punkt von außen wieder hineingespiegelt, er ist jetzt also im Innern vier Lagen hoch.
Wiederum spiegeln wir die Gesamtfigur an jeder Dreiecksseite (Abb. 4).
Abb. 4: Dritter Schritt
Die Abbildung 5 zeigt die Situation nach sechs Schritten. Der Umriss ist ein regelmäßiges Sechseck.
Abb. 5: Situation nach sechs Schritten
Die Abbildung 6 zeigt eine Animation der ersten sechs Schritte. Bei einem realen Kaleidoskop ist die Anzahl der Schritte nicht beschränkt.
Abb. 6:
Animation
Die Abbildung 7
zeigt, wie sich das zentrale Dreieck ausbreitet. Die Farbe ist transparent,
Überlagerungen erscheinen dunkler.
Abb. 7:
Ausbreitung des zentralen Dreiecks
Wir die Figur im
zentralen Dreieck (Abb. 1) verändert, ändert sich entsprechend die Gesamtfigur
im Kaleidoskop (Abb. 8).
Abb. 8:
Veränderung der Figur im zentralen Dreieck
3
Allgemeines
Dreieck
Das gleichseitige
Dreieck kann nicht durch ein allgemeines Dreieck ersetzt werden (Abb.
9).
Abb. 9:
Allgemeines Dreieck
Bei den ersten
Schritten sieht es zwar noch ganz manierlich aus, aber dann verlieren wir jede
Symmetrie (Abb. 10 nach sechs Schritten).
Abb. 10:
Symmetrieverlust
Wir ersetzen beim
allgemeinen Dreieck die Geradenspiegelungen durch Punktspiegelungen an den
Seitenmitten (Abb. 11 und Abb. 12).
Abb. 11:
Punktspieglungen
Abb. 12:
Situation nach sechs Schritten
Der Umriss ist ein
affin reguläres Sechseck.
Wie kann ein solches
Kaleidoskop gebaut werden?
4
Quadrat-Kaleidoskop
Die Abbildung 13
zeigt das Kaleidoskop mit einem Quadrat als Grundlage.
Abb. 13:
Quadratisches Kaleidoskop
Abb. 14:
Situation nach sechs Schritten
Der Umriss ist ein
auf einer Ecke stehendes Quadrat.
Die Animation 15
zeigt die Ausbreitung und Überlagerung des Kaleidoskops.
Abb. 15:
Ausbreitung und Überlagerung
5
Regelmäßiges
Fünfeck
Beim regelmäßigen
Fünfeck musste ich die Figur im zentralen Fünfeck grafisch vereinfachen, da es
(beim dritten Schritt) zu Überlagerungen kommt.
Abb. 16:
Regelmäßiges Fünfeck
Nach sechs Schritten
zeichnet sich ein Muster ab (Abb. 17). Man erkennt Geraden, welche orthogonal
zu den blauen Seiten des Fünfecks laufen. Ich verstehe das nicht.
Abb. 17:
Situation nach sechs Schritten
In der Animation 18
und der Abbildung 19 wurde der Kreis in den Mittelpunkt des Fünfecks versetzt.
Abb. 18: Kreis
im Mittelpunkt
Die Seiten des
blauen Fünfeckes scheinen nach innen gebogen, das ist aber eine optische
Täuschung.
Abb. 19:
Situation nach sechs Schritten
Die Animation 20
zeigt die Ausbreitung und Überlagerung der gespiegelten Fünfecke. Wir scheinen
keine Schließungsfigur zu haben.
Abb. 20:
Ausbreitung und Überlagerung
6
Regelmäßiges
Sechseck
Beim regelmäßigen
Sechseck kommt es im zentralen Sechseck ebenfalls zu Überlappungen (nach dem
dritten Schritt), aber nach dem vierten Schritt bleibt die Figur im Sechseck
stabil (Abb. 21).
Abb. 21: Im
Sechseck
Die Abbildung 22
zeigt die Situation nach fünf Schritten.
Abb. 22:
Situation nach fünf Schritten
Die Animation 23
zeigt die Ausbreitung und Überlagerung der Sechsecke.
Abb. 23:
Ausbreitung und Überlagerung
Weblinks
Wikipedia:
Kaleidoskop
https://de.wikipedia.org/wiki/Kaleidoskop
Hans Walser: Kaleidoskop
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kaleidoskop/Kaleidoskop.htm