Hans Walser, [20251127]
Kathetensatz
Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta
1 Worum es geht
Variationen und Spielereien um den Kathetensatz
Invariante Flächen
Kinematik
2 Klassisch
Die Abbildung 1 illustriert den Kathetensatz in der klassischen Darstellung. Gleichfarbige Quadrate und Rechtecke haben denselben Flächeninhalt.
Abb. 1: Der Kathetensatz
3 Noch mehr Kreise
In der Abbildung 2 sind vier weitere, zum Thaleskreis kongruente Kreise eingezeichnet. Fast alle Ecken der Quadrate und der Rechtecke liegen auf einem dieser Kreise. Diese fünf kongruenten Kreise in der Anordnung der Abbildung 2 dienen im Folgenden als Bahnkurven.
Abb. 2: Vier weitere Kreise
4 Schräge Dreieckshöhe
In der Abbildung 3 ist die Dreieckshöhe aus dem Lot geraten. Engsprechend sind die Quadrate und Rechtecke durch Parallelogramme ersetzt, und zwar so, dass entsprechende Ecken immer noch auf den fünf Kreisen liegen. In gleicher Farbe markierte Winkel sind gleich.
Abb. 3: Schräge Dreieckshöhe
Auch in dieser Situation sind gleichfarbige Parallelogramme flächengleich. Beweis mit trigonometrischen Rechnungen.
Die Abbildung 4 zeigt einen kinematischen Übergang von den Katheten-Parallelogrammen zu den Teilparallelogrammen des Hypotenusen-Parallelogramms. Die Flächeninhalte der Parallelogramme bleiben bei diesem kinematischen Prozess invariant.
Abb. 4: Transformation der Katheten-Parallelogramme
Die Bahnkurven der jeweils vierten Eckpunkte der transformierten Katheten-Parallelogramme sind interessant (Abb. 5).
Abb. 5: Bahnkurven
5 Animationen
In der Abbildung 6 bleibt das rechtwinklige Dreieck fest. Der Höhenfußpunkt wird verändert.
Abb. 6: Das rechtwinklige Dreieck bleibt fest
Die Bahnkurven der jeweils vierten Eckpunkte der transformierten Katheten-Parallelogramme bilden einen verschobenen Thaleskreis (Abb. 7).
Abb. 7: Verschobener Thaleskreis
In der Abbildung 8 wird der Höhenfußpunkt festgehalten und das Dreieck variiert.
Abb. 8: Der Höhenfußpunkt bleibt fest
Die Bahnkurven der jeweils vierten Eckpunkte der transformierten Katheten-Parallelogramme sind interessant (Abb. 9).
Abb. 9: Interessante Bahnkurven
6 Sonderfall Mitte
Wir verwenden den Mittelpunkt der Hypotenuse als Höhenfußpunkt (Abb. 10). Wir arbeiten also mit der Seitenhalbierenden zur Hypotenuse.
Abb. 10: Mitte
In dieser Situation sind die beiden Katheten-Parallelogramme kongruent, ebenso natürlich die beiden Teilparallelogramme des Hypotenusen-Parallelogramms.
In der Abbildung 11 wir das Dreieck verändert, der Mittelpunkt der Hypotenuse aber beibehalten.
Abb. 11: Mittelpunkt als Fußpunkt
In unserem Sonderfall liegen die Bahnkurven der übrigen Parallelogramm-Ecken auf Geraden und Kreisen (blau in Abb. 12).
Abb. 12: Weitere Bahnkurven
Der Extrempunkt für die oberste Ecke des roten Katheten-Parallelogramms wird erreicht, wenn der rote Winkel 45° misst (Abb. 13). Die entsprechende Ecke des grünen Katheten-Parallelogramms liegt dann im Schnittpunkt der beiden geraden blauen Bahnkurven.
Abb. 13: Extrempunkt
Weblinks
Hans Walser: Flächeninvarianz
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaecheninvarianz/Flaecheninvarianz.html