Hans Walser, [20250622]

Kreisüberlagerungen

1 Vorgehen

Zu gegebenem n ∈ ℕ zeichnen wir die Kurve mit der Parameterdarstellung:

t –> 1/n*sum([cos(k*t), sin(k*t)], k = 1 .. n), t = 0 .. 2*Pi

Es handelt sich im Wesentlichen um Kreisüberlagerungen mit den Frequenzen k = 1 .. n. Wegen dem Koeffizienten 1/n spielen die Kurven im Einheitskreis.

2 Beispiele

2.1 n = 1

Abb. 1: n = 1

2.2 n = 2

2.3 n = 3

Abb. 3: n= 3

2.4 n = 4

Abb. 4: n = 4

2.5 n = 5

Abb. 5: n = 5

2.6 Überblick

Wir haben einen n-fach-Punkt in [–1/n, 0] und einen (n – 1)-fach-Punkt im Ursprung.

Die Abbildung 6 gibt die Kurven für n = 1 .. 20.

Abb. 6: Überblick

3 Eine falsche Vermutung

Es sieht so aus, dass sich der Umriss der Figur der Kardioide annähert. Dies stimmt aber nicht (Abb. 7 und Abb. 8).

Abb. 7: Vergleich mit Kardioide

Die Abbildung 8 zeigt die Kurve für n = 10 000 zusammen mit der Kardioide.

Abb. 8: n = 10 000 und Kardioide

Nun ja, ein Beweis ist das nicht.

Weblinks

Hans Walser: Kreisüberlagerungen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreisueberlagerungen/Kreisueberlagerungen.html