Hans Walser, [20250822]
Kreuzhaube
1 Worum es geht
Variation der Abbildungsgleichungen für die Kugel
2 Erinnerung an die Kugel
Für die Kugel (Abb. 1) haben wir mit den
Parametern t1 ∈
[–π/2 .. π/2]
(geografische Breite) und t2
∈ [–π .. π]
(geografische Länge) die Abbildungsgleichungen:
x1 = cos(t1)
cos(t2)
x2 = cos(t1)
sin(t2)
x3 = sin(t1)
Die
t1-Linien (Meridiane, cyan) sind Großkreise auf der Kugel, die t2-Linien (Breitenkreise,
gelb) sind mit Ausnahme des Äquators Kleinkreise. Das Liniennetz ist
orthogonal.
Abb. 1: Kugel
Die Abbildung 2 zeigt die Situation von vorne und von oben.
Abb. 2: Sicht von vorne und von oben
3 Modifikation der Abbildungsgleichungen
Wir ergänzen die Abbildungsgleichungen wie folgt:
x1 = cos(t1)
cos(t2)
x2 = cos(t1)
sin(t2)
x3 = sin(t1)
sin(t2)
Damit sind die Kosinusse und Sinusse gleichmäßig auf die drei Koordinaten verteilt.
Die Parameterbereiche t1 ∈ [–π/2 .. π/2] und t2 ∈ [–π .. π] werden belassen.
4 Kreuzhauben
Die zugehörige Figur (Abb. 3) hat vier Kreuzhauben, je eine vorne, hinten, unten und oben. Die Fläche ist auf der einen Seite rot und auf der anderen Seite blau bemalt. Da die Fläche Selbstdurchdringungen hat, erscheint außen mal rot, mal blau.
Abb. 3: Figur mit Kreuzhauben
Die Abbildung 4 zeigt die Figur von vorne, von oben von rechts und von links. In der Sicht von vorne und von oben haben wir (vermeintlich) dasselbe Bild wie bei der Sicht von oben auf die Kugel.
Abb. 4.1: Sicht von vorne und von oben
Die Sichten von rechts und von links haben einen quadratischen Umriss.
Abb. 4.2: Sicht von rechts und von links
Die Abbildung 5 zeigt eine Animation.
Abb. 5: Sicht von allen Seiten
Die Abbildung 6 zeigt die Figur ohne die Netzlinien.
Abb. 6: Figur ohne Netzlinien
Die Abbildung 7 zeigt eine Art Genesis der Figur. Es wird gemäß dem Parameter t1 entwickelt. Die generierende Frontlinie ist daher eine t2-Linie.
Abb. 7: Genesis
5 Netzlinien
Die Abbildung 8 zeigt die t1-Linien und die t2-Linien. Die Systeme der t1-Linien und der t2-Linien sind kongruent und gehen durch eine Drehung um π/2 um die x2-Achse auseinander hervor.
Abb. 8: Netzlinien
Das System der Netzlinien ist nicht orthogonal (Abb. 9).
Abb. 9: Kein orthogonales Netz
Die Netzlinien sind Ellipsen mit konstanter langer Halbachse 1 (Abb. 10). Sie drehen um die kurze Achse.
Abb. 10: Netzlinien sind Ellipsen
6 Schnitte
In den Abbildungen 11, 12 und 13 wurde die Figur allseitig auf 1/√2 ≈ 0.707 zurückgestutzt. Wir erkennen die wechselseitige rot/blau-Färbung und die Selbstdurchdringung.
Abb. 11: Schnittfiguren
Abb. 12: Schnittfiguren
In der Abbildung 13 wurde der Ästhetik halber auf die Darstellung des Koordinatensystems verzichtet.
Abb. 13: Bewegung im Würfel
7 Niveaulinien
In der nun beidseitig gelb bemalten Figur (Abb. 14) fährt eine horizontale Niveaulinie auf und ab. Die monochrome Farbgebung erfolgte aus technischen Gründen, um Speicher zu sparen.
Abb. 14: Niveaulinie und Figur
Die Abbildung 15 zeigt die Niveaulinie ohne die Figur. Die Selbstdurchdringung führt zu einer 8-förmigen Figur. Der Autor weiß nicht, auf welcher Höhe die Selbstdurchdringung orthogonal ist. Er weiß auch nicht, ob sich unter den Niveaulinien auch die Bernoullische Lemniskate befindet.
Abb. 15: Niveaulinie
Selbst der Äquator ist topologisch eine 8 (Abb. 16).
Abb. 16: Äquator
8 Konvexe Hülle
Die Abbildung 17 zeigt die konvexe Hülle der Figur. Die grünen Hüllflächen sind Ellipsen mit dem Achsenverhältnis √2 : 1 .
Abb. 17: Konvexe Hülle
Weblinks
Hans Walser: Kreuzhaube
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreuzhaube2/Kreuzhaube2.html
Hans Walser: Kreuzhaube
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreuzhaube/Kreuzhaube.htm