1 Worum es geht

Im Startdreieck zeichnen wir die drei Höhen mit dem Höhenschnittpunkt sowie den Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten (Abb. 1).

Ein Bild, das Dunkelheit, Schwarz, Raum, Astronomisches Objekt enthält.

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Abb. 1: Ausgangslage

Dann gilt folgendes: die gleichfarbigen Strecken (Abb. 2) haben das Längenverhältnis 2:1.

Ein Bild, das Farbigkeit, Raum enthält.

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Abb. 2: Längenverhältnis

2 Beweis

Wir arbeiten mit dem Seitenmittendreieck (orange in Abb. 3). Das Seitenmittendreieck ist perspektivähnlich zum Startdreieck. Das Perspektivitätszentrum ist der gemeinsame Schwerpunkt (hellblau in Abb. 3), der Perspektivitätsfaktor ist –2. Die Höhen des Seitenmittendreiecks liegen auf den Mittelsenkrechten des Startdreiecks.

Ein Bild, das Farbigkeit, Stern enthält.

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Abb. 3: Seitenmittendreieck

Die gleichfarbige Strecken liegen perspektivähnlich und haben daher das orientierte Längenverhältnis –2:1 und das absolute Längenverhältnis 2:1.

Weblink

Hans Walser: Längenverhältnis

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Laengenverhaeltnis/Laengenverhaeltnis.html