1 Worum es geht

Spielerei mit den Lucas-Zahlen.

2 Lucas-Zahlen

Die Folge der Lucas-Zahlen l_n kann definiert werden wie folgt (Formel von Binet):

Dabei ist

der Goldene Schnitt.

Die Tabelle 1 gibt einige Werte der Lucas-Folge l_n. Zum Vergleich dazu die Fibonacci-Folge f_n.

n	l_n	f_n
–12	322	–144
–11	–199	89
–10	123	–55
–9	–76	34
–8	47	–21
–7	–29	13
–6	18	–8
–5	–11	5
–4	7	–3
–3	–4	2
–2	3	–1
–1	–1	1
0	2	0
1	1	1
2	3	1
3	4	2
4	7	3
5	11	5
6	18	8
7	29	13
8	47	21
9	76	34
10	123	55
11	199	89
12	322	144

Tab. 1: Lucas-Folge und Fibonacci-Folge

Die Lucas-Folge genügt wie die Fibonacci-Folge der Rekursion:

Weiter ist:

3 Quadrate der Lucas-Zahlen

Wir quadrieren nun die Lucas-Zahlen, zählen je zwei aufeinanderfolgende Quadrate zusammen und dividieren durch 5.

Beispiel für n = 6:

Wir erhalten die Fibonacci-Zahl f₁₁.

Die Tabelle 2 zeigt weitere Beispiele.

n	l_n	f_n	(l_n²+l_n_–1²)/5
–12	322	–144	75025
–11	–199	89	28657
–10	123	–55	10946
–9	–76	34	4181
–8	47	–21	1597
–7	–29	13	610
–6	18	–8	233
–5	–11	5	89
–4	7	–3	34
–3	–4	2	13
–2	3	–1	5
–1	–1	1	2
0	2	0	1
1	1	1	1
2	3	1	2
3	4	2	5
4	7	3	13
5	11	5	34
6	18	8	89
7	29	13	233
8	47	21	610
9	76	34	1597
10	123	55	4181
11	199	89	10946
12	322	144	28657

Tab. 2: Quadratsummen

Wir vermuten:

4 Beweis

Für den Beweis verwenden wir die Formeln von Binet für die Lucas-Zahlen l_n und die Fibonacci-Zahlen f_n:

Der Rest ist Rechnung (CAS).

5 Illustration

Die Summe von zwei Quadraten kann mit dem Satz von Pythagoras illustriert werden. Für n = 6 zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten l₅ = 11 und l₆ = 18 und fünfteln das zugehörige Hypotenusenquadrat (Abb. 1).

Abb. 1: Zwei Lucas-Zahlen als Längen und eine Fibonacci-Zahl als Fläche

Die Abbildung 2 zeigt entsprechend den Anfang einer Illustrationskette.

Abb. 2: Illustrationskette

6 Grenzverhalten

Für große n ist:

Damit wird:

Weblinks

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS): Lucas-Zahlen

https://oeis.org/A000032

Hans Walser: Fibonacci-Quadrate

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Quadrate/Fibonacci-Quadrate.html

Hans Walser: Miniaturen: Fibonacci

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Fibonacci/index.html