Hans Walser, [20240727a]

Mehrzweckstöpsel

Idee und Anregung: George Pólya (Seminar an der ETHZ, ca. 1970).

1 Worum es geht

Variationen um den sogenannten „Mehrzweckstöpsel“.

2 Klassisch

Die Abbildung 1 zeigt den klassischen Mehrzweckstöpsel.

Abb. 1: Mehrzweckstöpsel

Genau von vorne sehen wir einen quadratisch Umriss, genau von der Seite ein gleichschenkliges Dreieck (Abb. 2).

Abb. 2: Sicht von vorne und von der Seite

Von oben sehen wir einen Kreis-Umriss (Abb. 3).

Abb. 3: Sicht von oben

Die Oberflächen des Stöpsels haben die Gaußsche Flächenkrümmung null. Die Figur ist abwickelbar und konvex.

3 Stöpsel

3.1 Dreikant-Profil

Die Figur kann durch ein Dreikant-Profil geschoben werden (Abb. 4). Die Situation ist spurhaltend, die Figur kann sich nur vorwärts und rückwärts bewegen. In jeder Lage im Innern des Profils wird dieses ganz abgedichtet. Die Figur funktioniert als Stöpsel.

Abb. 4: Dreikant-Profil

3.2 Zylinder

Wir können die Figur durch einen Zylinder schieben (Abb. 5).

Abb. 5: Lippenstift

Die Figur kann aber auch beim Durchschieben verdreht werden (Abb. 6). In jeder Lage im Innern des Profils wird dieses ganz abgedichtet. Die Figur funktioniert als Stöpsel.

Abb. 6: Verdrehung

3.3 Vierkant

Bei einem Vierkant (Abb. 7) kann die Figur zunächst auch einfach durchgeschoben werden.

Abb. 7: Vierkant

Allerdings kann die Figur im Innern des Vierkants ins Trudeln geraten (Abb. 8). Sie dreht dann um eine zur Längsachse des Vierkants senkrechte Achse. Der Vierkant wird nur in Sonderfällen abgedichtet, die Figur funktioniert nicht als Stöpsel. Die Figur ist nicht spurhaltig.

Abb. 8: Trudeln

Der Versuch, mit einer Spurschiene oder ausladenden Spurhaltern das Problem zu lösen, scheitert daran, dass das Dreiecksprofil oder das Kreisprofil dann nicht mehr gewährleistet ist.

Die einzige Lösung ist, dass die Figur händisch auf Spur gehalten wird.

4 Regelmäßigkeiten

Im klassischen Beispiel (Abb. 1 bis Abb. 8) haben wir ein quadratisches Profil, ein Kreisprofil und ein Profil mit einem gleichschenkligen Dreieck. Leider ist es nicht möglich, die drei Profile alle drei regelmäßig zu gestalten, also auch das Dreieck als gleichseitiges Dreieck. Es können immer nur zwei der drei Profile regelmäßig gestaltet sein.

Im Beispiel der Abbildungen 9 und 10 haben wir ein gleichseitiges Dreieck und einen Kreis. Das Quadrat wird zu einem Rechteck.

Abb. 9: Gleichseitiges Dreieck, Kreis und Rechteck

Abb. 10: Sicht von oben

Im Beispiel der Abbildungen 11 und 12 haben wir ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat. Der Kreis wird zu einer Ellipse.

Abb. 11: Gleichseitiges Dreieck, Quadrat und Ellipse

Abb. 12: Sicht von oben. Ellipse

5 Varianten zur Figur

Im Folgenden sei wieder die Situation Kreis, Quadrat und gleichschenkliges Dreieck (Abb. 1 bis Abb. 8) angenommen.

5.1 Minimalmodell

Die Abbildung 13 zeigt das Minimalmodell. Es hat das Volumen null und ist materiell nicht realisierbar, aber aus Karton approximierbar.

Abb. 13: Minimalmodell

5.2 Konvexe Hülle

Die Abbildungen 14 und 15 zeigen die konvexe Hülle des Minimalmodells. Das Modell ist, wie der Name sagt, konvex. Die Seitenflächen sind abwickelbar.

Abb. 14: Konvexe Hülle

Abb. 15: Konvexe Hülle in verschiedenen Ansichten

In den Zwischenansichten ist der Umriss ein gleichschenkliges Trapez.

Die Abbildung 16 zeigt den Aufbau der Figur.

Abb. 16: Aufbau der Figur

Die Abbildung 17 gibt die Sicht von oben. Die horizontalen Querschnitte setzen sich aus einem Rechteck mit zwei angesetzten Halbkreisen zusammen.

Abb. 17: Sicht von oben

5.3 Elliptische Querschnitte

Die Abbildung 18 zeigt den Aufbau einer Figur mit elliptischen Querschnitten aus der Sicht von oben.

Abb. 18: Elliptische horizontale Querschnitte

Die Abbildung 19 gibt eine Ansicht des Aufbaus.

Abb. 19: Aufbau

In der Abbildung 20 sehen wir die fertige Figur. Sie ist nicht konvex. Die Oberfläche ist eine Regelfläche mit negativer Flächenkrümmung, die Figur ist deshalb nicht abwickelbar.

Abb. 20: Figur

Abb. 21: Verschiedene Ansichten

Weblink

Hans Walser: Dreitafelprojektion

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreitafelprojektion/Dreitafelprojektion.htm