Hans Walser, [20240529]
Mittelbildung
1 Worum es geht
Systematische Übersicht über die gängigen Mittelbildungen.
2 Konzept
Für n ϵ ℤ arbeiten wir mit der Funktion f(x) = xn. Zu zwei reellen Zahlen a und b definieren wir einen Mittelwert m über die Bedingung:
3 Formeln
Es ist:
4 Beispiele
In den Beispielen der Tabelle 1 ist a = 1 und b = 3.
|
n |
Mittel m |
exakt |
Name |
|
–5 |
1.185564784 |
|
|
|
–4 |
1.244739800 |
|
|
|
–3 |
1.341640786 |
|
|
|
–2 |
1.5 |
|
Harmonisches Mittel |
|
–1 |
1.732050808 |
√3 |
Geometrisches Mittel |
|
0 |
2 |
|
Arithmetisches Mittel |
|
1 |
2.236067977 |
√5 |
WC-Rollen-Mittel |
|
2 |
2.410142264 |
|
Würfelmittelung |
|
3 |
2.530439534 |
|
|
|
4 |
2.613797668 |
|
|
|
5 |
2.673306847 |
|
|
Tab. 1: Beispiele
Für n → –∞ erhalten wir den Grenzwert a = 1, für n → ∞ den Grenzwert b = 3. Die Mittelwerte nehmen monoton zu.
5 Einzelfälle
In den folgenden Abbildungen sind der gelbe und der hellblaue Bereich flächengleich. Das Mittel markiert die Trennlinie.
5.1 Harmonisches Mittel
Es ist n = –2. Formel:
Abb. 1: Harmonisches Mittel
5.2 Geometrisches Mittel
Es ist n = –1. In diesem Sonderfall ergibt sich bei der Integration der natürliche Logarithmus.
Formel:
Abb. 2: Geometrisches Mittel
5.3 Arithmetisches Mittel
Es ist n = 0. Formel:
Abb. 3: Arithmetisches Mittel
5.4 WC-Rollen-Mittel
Eine WC-Rolle habe den Innenradius a und den Außenradius b. Bei welchem Radius m ist die Rolle halb aufgebraucht?
Es ist n = 1. Formel:
Diese Formel erinnert an den Satz von Pythagoras. Tatsächlich lässt sich m sehr einfach mit einem rechtwinkligen Dreieck konstruieren (Abb. 4.1).
Abb. 4.1: WC-Rollen-Mittel
Die Abbildung 4.2 zeigt die Integraldarstellung.
Abb. 4.2: WC-Rollen-Mittel. Halbierung des Trapezes
5.5 Würfelmittelung
Zu zwei Würfeln mit den Kantenlängen a und b ist ein Würfel der Kantenlänge m gesucht, dessen Volumen das arithmetische Mittel der Volumina der beiden gegebenen Würfel ist. Dieses Problem ist im Prinzip das Delische Problem der Würfelverdoppelung und mit Zirkel und Lineal nicht lösbar.
Es ist n = 2. Formel:
Abb. 5: Würfelmittelung
Weblink
Hans Walser: Mittelbildung im Kreis
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mittelbildung/Mittelbildung.htm