Hans Walser, [20250916]
Multiplikationstafel
1 Die Tafel
Die Abbildung 1 zeigt die Multiplikationstafel für einstellige Zahlen („kleines Einmaleins“).
Abb. 1: Multiplikationstafel
2 Rechteck und Quadrat
2.1 Diagonalen im Rechteck
Wir markieren ein beliebiges achsenparalleles Rechteck (gelb in Abb. 2) und malen die Eckquadrate wechselseitig mit zwei Farben rot und blau an.
Abb. 2: Rechteck
Dann ist das Produkt der beiden Zahlen in den roten Feldern gleich dem Produkt der beiden Zahlen in den blauen Feldern. Im Beispiel der Abbildung 2 also:
6•56 = 24•14 = 336
Beweis:
Wir verwenden die Zahlen am oberen und am linken Rand als Koordinaten. Das Feld mit der Zahl 6 hat also die Koordinaten [2, 3]. Das Produkt der beiden Koordinaten ist die Zahl im betreffenden Feld.
Die vier Eckfelder eines allgemeinen achsenparallelen Rechtecks haben die Koordinaten:
[a, b], [a, d],
[c, d], [c,
b]
Aus
(a•b) • (c•d) = (c•b) • (a•d) folgt die Behauptung.
2.2 Quadratische Matrix
Insbesondere
gilt die Produktgleichheit für ein aus vier benachbarten Feldern
zusammengesetztes Quadrat (Abb. 3).
Abb. 3: Quadrat mit vier Feldern
Die Determinante dieser quadratischen Matrix ist also null.
Dies gilt auch für eine beliebige quadratische Matrix in der Multiplikationstafel (Abb. 4), da alle Spalten linear abhängig sind.
Abb. 4: Determinante null
3 Anordnung als Dreieck
Die Abbildung 5 zeigt eine andere Anordnung der Multiplikationstafel.
Abb. 5: Andere Anordnung
3.1 Rekursion
Wir bezeichnen mit cn,k das Element in der n-ten Zeile an k-ter Stelle, Nummerierung beginnend mit 1.
Mit den natürlichen Zahlen als Startwerten in den Dachschrägen gilt die Rekursionsformel:
Die vier beteiligten Elemente bilden eine quadratische Matrix mit der Determinante null. Daraus ergibt sich die Rekursionsformel.
3.2 Zeilensummen
In der Abbildung 6 sind die Zeilensummen rot eingetragen.
Abb. 6: Zeilensummen
Beispielsweise setzt sich die fünfte Zeilensumme zusammen wie folgt:
1•5 + 2•4 + 3•3 + 4•2 + 5•1 = 35
Allgemein gilt für die n-te Zeilensumme:
Wir haben also Summen von Produkten von zwei gegenläufig wachsenden beziehungsweise abnehmenden Faktoren.
Die Zeilensummen erscheinen auch als Elemente im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten (Abb. 7).
Abb. 7: Binomialkoeffizienten
Für die n-te Zeilensumme gilt daher:
Die Summenformel kann auch visualisiert werden.
3.3 Alternierende Zeilensummen
Abb. 8: Alternierende Zeilensummen
Für die n-te alternierende Zeilensumme (Abb. 8) gilt:
Für gerades n ist die Zeilensumme null, was ja auch schon aus Symmetriegründen klar ist.
Für ungerades n = 2m – 1 ist die Zeilensumme m . Sie ist auch die Quadratwurzel aus der Zahl in der Zeilenmitte.
Weblinks
Hans Walser: Summenformel
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summenformel2/Summenformel2.html