Hans Walser, [20250917]

Summenformel

1 Worum es geht

Visueller Beweis der Formel:

2 Beispiel

Für n = 5 bedeutet die Formel:

5•1 + 4•2 + 3•3 + 2•4 + 1•5 = ⅚ (25 + 15 + 2) = ⅚•42 = 35

3 Visueller Aufbau der Summe

Für den ersten Summanden 5•1 ordnen wir 5 Kugeln linear in einer Reihe an (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Die ersten fünf Kugeln

Den zweiten Summanden 4•2 visualisieren wir als stehendes Rechteck (Abb. 1.2).

Abb. 1.2: Zweiter Summand

Dann geht es analog weiter (Abb. 1.3 und 1.4).

Abb. 1.3: Dritter Summand

Abb. 1.4: Vierter Summand

Den fünften und letzten Summanden stellen wir als Stapel von fünf Kugeln dar (Abb. 1.5).

Abb. 1.5: Fünfter und letzter Summand

Die Kugeln haben eine tetraedrische Anordnung innerhalb eines Würfels. Das Tetraeder, ein sogenanntes Orthoschem, füllt einen Sechstel des Würfels.

4 Abzählen der Kugeln

Wir zeichnen eine Diagonalebene des Würfels (cyan in Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Diagonalebene

Diese Diagonalebene halbiert einige Kugeln der Figur, wie die Sicht von hinten zeigt (Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Halbierte Kugeln

Die Anzahl der halbierten Kugeln ist:

1 + 2 + ... + n

Dafür verwenden wir die Formel:

Diese Formel setzen wir als gegeben voraus. Es gibt dafür klassische visuelle Beweise, die mich zur vorliegenden Studie motiviert haben.

Wir zeichnen nun eine zweite Diagonalebene des Würfels (gelb in Abb. 3).

Abb. 3.1: Zweite Diagonalebene

Die beiden Diagonalebenen schneiden sich in einer Würfeldiagonalen. Bei der Sicht längs dieser Diagonalen (Sicht „über Eck“) zeigt sich, dass die beiden Diagonalebenen den Hauptteil der Kugelfigur in einem Sechstel des Würfels einschließen.

Abb. 3.2: Sechstel

Die Anzahl der Kugeln ist also grosso modo ⅙ n³. Wir müssen noch die abgeschnittenen Kugelteile dazuzählen.

Jede Diagonalebene schneidet ½ (n² + n) halbe Kugeln weg. Wir müssen also insgesamt 2•½ (n² + n) halbe Kugeln addieren, also ½ (n² + n) ganze Kugeln. Dann haben wir allerdings für die Diagonale n ganze Kugeln addiert und dabei übersehen, dass die Kugeln der Diagonalen zu einem Sechstel bereits im Hauptteil der Kugelfigur mitgezählt wurden. Um dies zu korrigieren, müssen ⅙ n Kugeln weggenommen werden. Die Schlussrechnung sieht dann so aus:

Anzahl der Kugeln in der Figur = ⅙ n³ + ½ (n² + n) – ⅙ n = ⅙ (n³ + 3n² + 2n) = ⅙ n(n² + 3n + 2)

Dies war zu zeigen.

Die Abbildung 4 zeigt die Figur für n = 10 .

Abb. 4: 220 Kugeln

Weblinks

Hans Walser: Summenformel

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summenformel/Summenformel.htm