Hans Walser, [20260202]

Orientierter Flächeninhalt

1 Worum es geht

Puzzle mit zwei flächengleichen Achtecken.

2 Flächenberechnung über die Koordinaten

Für den orientierten Flächeninhalt eines n-Eckes können wir rechnerisch vorgehen wie folgt. Die Eckpunkte werden von 1 bis n durchnummeriert. Sie haben die Koordinaten (x_i, y_i), i ∈ {1, 2, ... , n}.

Dann gilt für den orientierten Flächeninhalt A:

(1)

Dabei ist y_n+1 = y₁ und y₀ = y_n zu setzen (zyklisches Vorgehen). Herleitung der Formel hier.

3 Beispiel mit Achtecken

Wir beginnen mit n = 8 regelmäßig auf dem Einheitskreis verteilten Punkten (Abb. 1).

Abb. 1: Acht Punkte auf dem Einheitskreis

Von einem beliebigen Startpunkt (der Autor hat den Punkt ganz rechts als Startpunkt gewählt) aus verbinden wir mit dem Punkt, der sich im Gegenuhrzeigersinn (positiver Umlaufsinn) um k Schritte entfernt befindet. Diesen Punkte verbinden wir wieder mit dem im Gegenuhrzeigersinn um k Schritte entfernten Punkt. Und so weiter und so fort, bis wir zum Startpunkt zurückkommen.

In der Abbildung 2 sind jeweils die gewählte Schrittzahl k sowie der nach der Formel (1) berechnete Flächeninhalt angegeben.

Für k = 0 läuft gar nichts (Abb. 2.0)

Abb. 2.0: k = 0

Für k = 1 erhalten wir das gewohnte regelmäßige Achteck (Abb. 2.1). Das Achteck wird im Gegenuhrzeigersinn umlaufen (Pfeilrichtung).

Abb. 2.1: Achteck

Für k = 2 wird es gleich spannend (Abb. 2.2). Statt einem regelmäßigen Achteck erhalten ein doppelt durchlaufenes Quadrat. Das dem Einheitskreis einbeschriebene Quadrat hat die Seitenlänge √2 und damit den Flächeninhalt 2. Es wird aber zweimal umlaufen, daher ist der orientierte Flächeninhalt das Doppelte, also 4.

Abb. 2.2: k = 2

Bei k = 3 (Abb. 2.3) erhalten wir denselben orientierten Flächeninhalt wie bei k = 1 (Abb. 2.1). Dies deshalb, weil Teile der Figur mehrfach umlaufen werden und daher mehrfach zu zählen sind. So wird das zentrale kleine Achteck dreimal umlaufen und zählt daher dreifach. Die kleinen rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke um das zentrale kleine Achteck werden je zweimal umlaufen und zählen daher doppelt.

Abb. 2.3: k = 3

Bei k = 4 (Abb. 2.4) geht es mehrfach hin und her, nämlich viermal hin und viermal her.

Abb. 2.4: k = 4

Bei k = 5 ergibt sich ein negativer orientierten Flächeninhalt (Abb. 2.5), betragsmäßig aber gleich viel wie bei k = 1 und bei k = 3. Wir sehen, dass das zentrale kleine Achteck im Zentrum nun im negativen Sinn (Uhrzeigersinn) dreimal umlaufen wird.

Abb. 2.5: k = 5

Bei k = 6 (Abb. 2.6) ergibt sich ein doppelt im negativen Simm umlaufenes Quadrat.

Abb. 2.6: k = 6

Bei k = 7 (Abb. 2.7) erhalten wir ein im negativen Sinn umlaufenes regelmäßiges Achteck.

Abb. 2.7: k = 7

Bei k = 8 (Abb. 2.8) sind wir gleich weit wie bei k = 0, nämlich wieder bei null.

Abb. 2.8: k = 8

Bei k = 9 (Abb. 2.9) erhalten wir dasselbe wie bei k = 1. Die Werte für k sind also modulo 8 zu verstehen.

Abb. 2.9: k = 9

Die Abbildung 3 zeigt die orientierten Flächeninhalte der Sternflächen in Abhängigkeit von k.

Abb. 3: Flächeninhalte der Sternflächen

4 Das Puzzle

Für k = 1 und k = 3 ergaben sich die gleichen orientierten Flächeninhalte (Abb. 4).

Abb. 4: Gleiche orientierte Flächeninhalte

Nun ist es aber so, dass beim Achteck alle Flächenteile einfach umfahren werden und daher auch einfach zu zählen sind. Sie haben alle das Gewicht 1 (Abb. 5). Bei Stern hat aber das kleine zentrale Achteck das Gewicht 3. Die anschließenden rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke habe das Gewicht 2 und nur die äußeren Spitzen haben das Gewicht 1.

Abb. 5: Gewichtung

Im Puzzle der Abbildung 6 ist dieser Gewichtung Rechnung getragen. Die blau/hellblauen Teile im zentralen Achteck des Sterns kommen im Achteck dreifach vor. Die rot/grünen Teile des Sterns kommen im Achteck zweimal vor und die gelben Spitzen einmal.

Abb. 6: Puzzle zur Zerlegungsgleichheit

Weblinks

Hans Walser: Polygonfläche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Polygonflaeche/Polygonflaeche.htm