Hans Walser, [20250719]
Pascal-Dreiecke überlagern
Anregung: Henning Heller, Bonn und Regula Krapf, Bonn
1 Worum es geht
Spielerei mit Pascal-Dreiecken
2 Erinnerung: Pascal-Dreieck
Das Pascal-Dreieck geht so: In einem dreiecksförmigen Sechsecksraster füllen wir die Sechsecke in den Dachschrägen mit Einsen (gelb unterlegt in Abb. 1).
Abb. 1: Start
Die übrigen Sechsecke füllen wir gemäß der Pascal-Rekursion (Binomialkoeffizienten-Rekursion): Jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts oben stehenden Zahlen. Dies führt zum Pascal-Dreieck (Abb. 2).
Abb. 2: Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten
3 Versatz
Wir zeichnen zwei horizontal versetzte Dreiecke, die sich teilweise überlagern, und füllen wiederum die Sechsecke im Dach mit Einsen (Abb. 3).
Abb. 3: Start mit zwei versetzten Dreiecken
Die restlichen Sechsecke füllen wir wiederum gemäß der Pascal-Rekursion (Binomialkoeffizienten-Rekursion) (Abb. 4). Der Überlagerungsteil der beiden Pascal-Dreiecke ist blau markiert.
Abb. 4: Teilweise Überlagerung zweier Pascal-Dreiecke
4 Diskussion von Beispielen
Beim Versatz 0 ergibt sich das doppelte Pascal-Dreieck (Abb. 5).
Abb. 5: Versatz 0
Beim Versatz 1 ergibt sich das gewöhnliche Pascal-Dreieck, aber ohne das Sechseck an der Spitze (Abb. 6).
Abb. 6: Versatz 1
Ab Versatz 2 sind auch weiße Sechsecke vorhanden (Abb. 7 und 8).
Abb. 7: Versatz 2
Abb. 8: Versatz 3
Die Abbildung 4 gehört zum Versatz 5.
Ab Versatz 10 haben wir in unserer Darstellung scheinbar zwei disjunkte Pascal-Dreiecke (Abb. 9). Die Überlagerung fängt erst weiter unten an.
Abb. 9: Scheinbar disjunkte Pascal-Dreiecke
5 Zahlenspielereien
5.1 Zeilensummen
Die Zeilensummen sind nach wie vor die Zweierpotenzen, aber beginnend mit der Zahl 2:
2, 4, 8, 16, 32, ...
5.2 Fibonacci
Die Schrägzeilensummen, welche beim Pascal-Dreieck die Fibonacci-Folge ergeben, führen in unseren Beispielen zu Überlagerungen von zwei Fibonacci-Folgen.
Beispiel: Beim Versatz 5 (Abb. 4) ergibt sich die Folge:
1, 1, 2, 3, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, ...
Dies ist die Summe der beiden um 5 Stellen versetzen Fibonacci-Folgen
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Das Zeug ist additiv.
Weitere Eigenschaften habe ich nicht untersucht.
Weblinks
Hans Walser: Pascal und Fibonacci
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pascal_u_Fibonacci/Pascal_u_Fibonacci.htm