Hans Walser, [20251001]

Pascal-Dreiecke überlagern

Anregung: Henning Heller, Bonn und Regula Krapf, Bonn

1 Worum es geht

Spielerei mit Pascal-Dreiecken

2 Erinnerung: Pascal-Dreieck

Das Pascal-Dreieck geht so: In einem dreiecksförmigen Sechsecksraster füllen wir die Sechsecke in den Dachschrägen mit Einsen (gelb unterlegt in Abb. 1).

Abb. 1: Start

Die übrigen Sechsecke füllen wir gemäß der Pascal-Rekursion (Binomialkoeffizienten-Rekursion): Jede Zahl ist die Summe der beiden links und rechts oben stehenden Zahlen. Dies führt zum Pascal-Dreieck (Abb. 2).

Abb. 2: Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten

3 Problemstellung

Wir füllen die Dachschrägen statt mit Einsen mit anderen Zahlen, links eine Zahl und rechts eine davon verschiedene Zahl.

Wie sieht nun das Zahlendreieck aus?

4 Beispiel

Wir setzen auf der linken Dachschräge Zweien ein, auf der rechten Dachschräge aber Dreien (Abb. 3). Das oberste Feld müssen wir weglassen.

Abb. 3: Zweien und Dreien

4.1 Zeilensummen

Für die Zeilensummen erhalten wir der Reihe nach:

5, 10, 20, 40, 80, ...

Bis auf den Faktor 5 haben wir die Zweierpotenzen.

4.2 Schrägzeilensummen

Wir addieren in den für die Fibonacci-Zahlen beim Pascal-Dreieck üblichen Schrägzeilen mit Steigungswinkeln von ±30°.

Beim Steigungswinkel 30° erhalten wir die Zahlenfolge:

2, 5, 7, 12, 19, 31, ...

Wir erkennen die übliche Fibonacci-Rekursion. Die Startwerte sind 2 und 5.

Beim Steigungswinkel –30° erhalten wir die Zahlenfolge:

3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Dies ist sogar die übliche Fibonacci-Folge, beginnend mit den Startwerten 3 und 5.

5 Allgemein

Wir setzen auf der linken Dachschräge a ein, auf der rechten Dachschräge aber b (Abb. 4).

Abb. 4: Allgemein

Die Koeffizienten von a bilden das übliche Pascal-Dreieck (Abb. 2), ebenso die Koeffizienten von b.

Wir haben also eine Art Linearkombination von Pascal-Dreiecken.

Weblinks

Hans Walser: Pascal-Dreiecke überlagern

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pascal-Dreiecke_ueberlagern/Pascal-Dreiecke_ueberlagern.html