Hans Walser, [20260929]

Positionssysteme

Anregung: Thomas Jahre, Chemnitz, Serie 73 – 872

1 Worum es geht

Zahlenspielerei in Positionssystemen

Hintergrund: Dritte binomische Formel: (a + b)(a – b) = a² – b² für b = a – 1.

2 Basis 2

2.1 Spielerei

1^10 – 0^10 = 1

10^10 – 1^10 = 11

100^10 – 11^10 = 111

1000^10 – 111^10 = 1111

10000^10 – 1111^10 = 11111

100000^10 – 11111^10 = 111111

1000000^10 – 111111^10 = 1111111

10000000^10 – 1111111^10 = 11111111

2.2 Beweis

Nun im Dezimalsystem:

(2ⁿ)² – (2ⁿ – 1)² = 2²ⁿ – (2²ⁿ – 2ⁿ⁺¹ + 1) = 2ⁿ⁺¹ – 1

3 Basis 3

3.1 Spielerei

1² – 0² = 1

10² – 2² = 12

100² – 22² = 122

1000² – 222² = 1222

10000² – 2222² = 12222

100000² – 22222² = 122222
1000000² – 222222² = 1222222

10000000² – 2222222² = 12222222

3.2 Beweis

Nun im Dezimalsystem:

(3ⁿ)² – (3ⁿ – 1)² = 3²ⁿ – (3²ⁿ – 2•3ⁿ + 1) = 2•3ⁿ –1 = 3ⁿ + (3ⁿ – 1)

4 Basis 4

4.1 Spielerei

1² – 0² = 1

10² – 3² = 13

100² – 33² = 133

1000² – 333² = 1333

10000² – 3333² = 13333

100000² – 33333² = 133333

1000000² – 333333² = 1333333

10000000² – 3333333² = 13333333

4.2 Beweis

Nun im Dezimalsystem:

(4ⁿ)² – (4ⁿ – 1)² = 4²ⁿ – (4²ⁿ – 2•4ⁿ + 1) = 2•4ⁿ –1 = 4ⁿ + (4ⁿ – 1)

5 Allgemein

Wir sehen, wie der Hase läuft. Für die Basis b+1 gilt:

1² – 0² = 1

10² – b² = 1b

100² – bb² = 1bb

1000² – bbb² = 1bbb

10000² – bbbb² = 1bbbb

100000² – bbbbb² = 1bbbbb

1000000² – bbbbbb² = 1bbbbbb

10000000² – bbbbbbb² = 1bbbbbbb

Beweis:

((b+1)ⁿ)² – ((b+1)ⁿ – 1)² = (b+1)²ⁿ – ((b+1)²ⁿ – 2•(b+1)ⁿ + 1) = 2•(b+1)ⁿ –1 = (b+1)ⁿ + ((b+1)ⁿ – 1)

6 Dezimalsystem

Im Dezimalsystem sieht die Sache so aus:

1² – 0² = 1

10² – 9² = 19

100² – 99² = 199

1000² – 999² = 1999

10000² – 9999² = 19999

100000² – 99999² = 199999

1000000² – 999999² = 1999999

10000000² – 9999999² = 19999999

Wer Lust hat, kann das nachrechnen.

Weblink

Thomas Jahre, Serie 73 - 872

https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html

Hans Walser: Binärzahlenspielerei

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Binaerzahlenspielerei/Binaerzahlenspielerei.html