Hans Walser, [20240722]

Propellerviereck

1 Worum es geht

Kinematisches Viereck mit invariantem Flächeninhalt.

2 Konstruktion

2.1 Zwei Propeller

Wir zeichnen zwei Propeller.

Der erste Propeller hat das Zentrum A, den Radius a und die beiden Endpunkte A₁ beziehungsweise A₂ (Abb. 1 und Abb. 2).

Der zweite Propeller hat das Zentrum B, den Radius b und die beiden Endpunkte B₁ beziehungsweise B₂. Die Trägergeraden der beiden Propeller schneiden sich unter dem Winkel ϕ (phi, Phasenverschiebung).

Abb. 1: Die beiden Propeller

Der Parameter t ist der Drehwinkel im Bogenmaß. Für den ersten Propeller haben wir den Drehwinkel t, für den zweiten den Drehwinkel t + ϕ.

Abb. 2: Drehende Propeller

2.2 Viereck

Das Propellerviereck ist nun das Viereck A₁B₁A₂B₂ (Abb. 3).

Abb. 3: Propellerviereck

Beim Drehen der Propeller bleibt der Flächeninhalt des Propellervierecks invariant (Abb. 4).

Abb. 4: Invariante Viereckfläche

3 Beweisskizze

Wir skizzieren den Beweis für den Fall einer konvexen Situation des Propellerviereckes (Abb. 5). Mit den Diagonalen unterteilen wir das Viereck in vier Teildreiecke (I), (II), (III) und (IV).

Abb. 5: Bezeichnungen

Für die Teildreiecke ergeben sich folgende Flächeninhalte:

(I) ½ (a + p) (b + q) sin(π – ϕ) = ½ (a + p) (b + q) sin(ϕ)

(II) ½ (a + p) (b – q) sin(ϕ)

(III) ½ (a – p) (b – q) sin(π – ϕ) = ½ (a – p) (b – q) sin(ϕ)

(IV) ½ (a – p) (b + q) sin(ϕ)

Für die Summe der Flächeninhalte der vier Teildreiecke erhalten wir:

Flächeninhalt des Propellervierecks = 2ab sin(ϕ)

Der Flächeninhalt ist also nur abhängig von a, b und ϕ. Bei festen Propellerradien und fester Phasenverschiebung bleibt der Flächeninhalt invariant.

Das heißt insbesondere, dass wir die Propellerzentren A und B beliebig variieren können (Abb. 6).

Abb. 6: Variation der Propellerzentren

Das Propellerviereck kann konvex, konkav oder überschlagen sein.

4 Sonderfälle

Wenn die Propellerzentren A und B zusammenfallen, ergibt sich ein Parallelogramm (Abb. 7).

Abb. 7: Parallelogramm

Wird B auf A₁ gesetzt, ergibt sich ein Dreieck (Abb. 8).

Abb. 8: Dreieck

5 Variante: Scheibenwischerviereck

Im Scheibenwischerviereck (Abb. 9) gilt die Flächenformel:

Scheibenwischerviereckflächeninhalt = ½ ab sin(ϕ)

Abb. 9: Scheibenwischerviereck

6 Allgemein: Flächeninhalt eines Viereckes

Ein Viereck habe die Diagonalen e und f, die oder deren Verlängerungsgeraden sich unter einem Winkel ϕ schneiden. Dann gilt:

Flächeninhalt des Viereckes = ½ ef sin(ϕ)

Weblink

Hans Walser: Invarianten

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianten/Invarianten.html