Hans Walser, [20240717]

Invarianten

1 Worum es geht

Ein Viereck mit einigen Invarianten im Kontext des rechtwinkligen Dreiecks.

2 Inkreis und Ankreise

Zu einem rechtwinkligen Dreieck zeichnen wir den Inkreis und die drei Ankreise (Abb. 1). Für Maßangaben nehmen wir an, der (in der Abbildung 1 nicht gezeichnete) Thaleskreis sei der Einheitskreis. Die Hypotenuse hat damit die Länge 2.

Abb. 1: Inkreis und Ankreise

3 Viereck

Die Mittelpunkte dieser Kreise verbinden wir zu einem Viereck, und zwar in der folgenden Reihenfolge: Inkreis – der eine Kathetenankreis – Hypotenusenankreis – der andere Kathetenankreis (rot in Abb. 2).

Das Viereck ist nicht konvex.

Abb. 2: Viereck

4 Invarianten

4.1 Winkel

Bei den Ecken in den Ankreismittelpunkten messen die Winkel 45°, beim Inkreismittelpunkt 225° = 180° + 45°.

Abb. 3: Gleiche Winkel

Diese Winkel bleiben bei einer Formänderung des rechtwinkligen Dreiecks invariant (Abb. 4).

Abb. 4: Invariante Winkel

4.2 Diagonalen

Die beiden Diagonalen (die eine verläuft außen, da das Viereck nicht konvex ist) sind orthogonal und gleich lang. Ihre Länge ist das √2-fache der Hypotenusenlänge.

Abb. 5: Diagonalen

Die beiden Diagonalen drehen propellerartig um je einen festen Drehpunkt (Abb. 6). Die Drehpunkte befinden sich zuoberst und zuunterst auf dem Thaleskreis.

Abb. 6: Propeller

4.3 Flächeninhalt

Der Flächeninhalt des roten Dreiecks ist invariant und gleich groß wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates (Abb. 7).

Abb. 7: Invarianter Flächeninhalt

Die Abbildung 8 zeigt eine gemeinsame Zerlegung des Viereckes und des Hypotenusenquadrates. Grün ist der überlappende Teil.

Abb. 8: Gemeinsame Zerlegung

5 Beweisskizze

Für den Beweis sind folgende Bezeichnungen und Formeln hilfreich:

Es seien a und b die Katheten, c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Es ist also a² + b² = c².

Weiter sei s der halbe Umfang, also s = ½ (a + b + c).

Mit r_i bezeichnen wir den Inkreisradius.

Mit r_c bezeichnen wir den Radius desjenigen Ankreises, welcher der Ecke C gegenüberliegt. Entsprechend r_a und r_b.

Es ist:

(1) r_i = s – c = ½ (a + b – c)

(2) r_a = s – b = ½ (a – b + c)

(3) r_b = s – a = ½ (–a + b + c)

(4) r_c = s = ½ (a + b + c)

Damit ist

(5) r_c – r_i = c

(6) r_a + r_b = c

Daraus ergibt sich für die gemeinsame Länge der Diagonalen c√2.

Die Diagonalen liegen auf den beiden Winkelhalbierenden des rechten Dreieckswinkels, sind also orthogonal. Das rote Viereck ist ein orthodiagonales Viereck. Sein Flächeninhalt ist die Hälfte des Produktes der beiden Diagonalen.

Weblinks

Hans Walser: Kreise beim Dreieck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_beim_Dreieck/Kreise_beim_Dreieck.html

Hans Walser: Orthogonale Vierecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orthodiag_Vierecke/Orthodiag_Vierecke.htm