Hans Walser, [20260112]
Pythagoreische Dreiecke 15
Anregung: Thomas Jahre, Chemnitz, Aufgabe 71 - 846
1 Worum es geht
Geometrische Konstruktion eines pythagoreischen Dreiecks.
2 Vorgehen
Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck UVW mit dem rechten Winkel bei W, bei dem die beiden Katheten u und v in einem rationalen Verhältnis stehen (Abb. 1, exemplarisch mit dem Verhältnis u:v = 2:1). Die Hypotenuse w steht in der Regel nicht in einem rationalen Verhältnis zu u und v. In unserem Beispiel ist u:v:w = 2:1:√5.
Abb. 1: Beginn mit einem rechtwinkligen Dreieck
Über der Kathete u zeichnen wir einen Thaleskreis mit dem Mittelpunkt B (Abb. 2). Diesen Thaleskreis schneiden wir mit der Hypotenuse w, Schnittpunkt A.
Abb. 2: Thaleskreis
Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck ABC ein gemäß Abbildung 3. Dieses Dreieck ist pythagoreisch. In unserem Beispiel erhalten wir das Seitenverhältnis a:b:c = 3:4:5.
Abb. 3: Pythagoreisches Dreieck
3 Beweis
Beweis rechnerisch. Aus den Eingangsdaten u und v erhalten wir:
Daraus ergibt sich:
Da u und v in einem rationalen Verhältnis zueinanderstehen, gilt dies auch für a, b und c. Dies war zu zeigen.
4 Vergleich mit der üblichen Parametrisierung der pythagoreischen Tripel
Die pythagoreischen Tripel werden in der Regel so parametrisiert:
Zu u ∈ ℕ und v ∈ ℕ mit v < u sowie u, v teilerfremd und von ungleicher Parität ist
ein teilerfremdes pythagoreisches Tripel. Die Tabelle 1 zeigt die ersten Beispiele.
|
u |
v |
a |
b |
c |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
1 |
8 |
6 |
10 |
|
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
|
4 |
1 |
15 |
8 |
17 |
|
4 |
2 |
12 |
16 |
20 |
|
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
|
5 |
1 |
24 |
10 |
26 |
|
5 |
2 |
21 |
20 |
29 |
|
5 |
3 |
16 |
30 |
34 |
|
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
Tab. 1: Pythagoreische Tripel
Für unsere Konstruktion sind die Einschränkungen für u und v nicht relevant (Tab. 2). Für u = v hat das pythagoreische Dreieck eine Kathete a = 0.
|
u |
v |
a : b : c |
||
|
|
|
a |
b |
c |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
3 |
4 |
3 |
5 |
|
1 |
4 |
15 |
8 |
17 |
|
1 |
5 |
12 |
5 |
13 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
2 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
3 |
5 |
12 |
13 |
|
2 |
4 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
5 |
21 |
20 |
29 |
|
3 |
1 |
4 |
3 |
5 |
|
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
|
3 |
3 |
0 |
1 |
1 |
|
3 |
4 |
7 |
24 |
25 |
|
3 |
5 |
8 |
15 |
17 |
|
4 |
1 |
15 |
8 |
17 |
|
4 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
|
4 |
4 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
5 |
9 |
40 |
41 |
|
5 |
1 |
12 |
5 |
13 |
|
5 |
2 |
21 |
20 |
29 |
|
5 |
3 |
8 |
15 |
17 |
|
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
|
5 |
5 |
0 |
1 |
1 |
Tab. 2: Seitenverhältnisse gemäß unserer Konstruktion
5 Beispiele
Bildergalerie
Abb. 4.1-4.4: Kongruente pythagoreische Dreiecke
Abb. 4.5-4.8: Kongruente pythagoreische Dreiecke
Weblinks
Thomas Jahre: Chemnitzer Schulmodell
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html
Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke 16
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke16/Pyth_Dreiecke16.html