Hans Walser, [20260114]

Pythagoreische Dreiecke 16

1 Worum es geht

Geometrische Konstruktion eines pythagoreischen Dreiecks.

2 Vorgehen

Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck UVW mit dem rechten Winkel bei W, bei dem die beiden Katheten u und v in einem rationalen Verhältnis stehen (Abb. 1, exemplarisch mit dem Verhältnis u:v = 2:1). Die Hypotenuse w steht in der Regel nicht in einem rationalen Verhältnis zu u und v. In unserem Beispiel ist u:v:w = 2:1:√5.

Abb. 1: Beginn mit einem rechtwinkligen Dreieck

Nun zeichnen wir die von W ausgehende Höhe und Schwerlinie ein (Abb. 2).

Abb. 2: Höhe und Schwerlinie

Das Dreieck WBC (rot in Abb. 3) ist ein pythagoreisches Dreieck. In unserem Beispiel hat es das Seitenverhältnis a:b:c = 3:4:5.

Abb. 3: Pythagoreisches Dreieck

3 Beweis

Beweis rechnerisch. Aus den Eingangsdaten u und v erhalten wir:

Daraus ergibt sich:

Da u und v in einem rationalen Verhältnis zueinanderstehen, gilt dies auch für a, b und c. Dies war zu zeigen.

4 Beispiele

Abb. 4: Seitenverhältnis 3:4:5

Abb. 5: Seitenverhältnis 60:91:109

Weblinks

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke 15

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke15/Pyth_Dreiecke15.html