Hans Walser, [20260215]

Pythagoreische Dreiecke 17

1 Worum es geht

Folgen von pythagoreischen Dreiecken

Eckige logarithmische Spiralen

2 Exemplarisches Vorgehen

2.1 Pythagoreisches Startdreieck

Wir beginnen mit dem pythagoreischen Dreieck mit den Seiten 3, 4, und 5 (Abb. 1).

Abb. 1: Pythagoreisches Startdreieck

2.2 Spirale

Nun setzen wir ähnliche Dreiecke an, so dass jeweils die kurze Kathete des neuen Dreiecks auf die Hypotenuse des alten Dreiecks zu liegen kommt (Abb. 2).

Abb. 2: Ansetzen ähnlicher Dreiecke

Es entsteht eine spiralförmige Figur. Die Außenecken liegen auf einer logarithmischen Spirale.

2.3 Weitere pythagoreische Dreiecke

Wir bilden nun weitere Dreiecke wie folgt. Vom Ursprung aus gehen wir zu einer Außenecke der Spirale, von dort aus senkrecht auf die x-Achse und dann wieder zum Ursprung (gelb in Abb. 3 und 4).

Abb. 3: Weitere pythagoreische Dreiecke

In der Abbildung 4 sind die ursprünglichen hellblauen Dreiecke weggelassen.

Abb. 4: Die zusätzlichen pythagoreischen Dreiecke

2.4 Zahlen

Die Tabelle 1 gibt die Maße der zusätzlichen pythagoreischen Dreiecke. Sie sind rational.

n	a	b	c
1	3	4	5
2	–7/3	8	25/3
3	–13	44/9	125/9
4	–527/27	–112/9	625/27
5	–79/27	–3116/81	3125/81
6	11753/243	–1144/27	15625/243

Tab. 1: Katheten und Hypotenuse

Durch geeignetes Erweitern ergeben sich ganzzahlige Verhältnisse (Tab. 2). Es sind pythagoreische Tripel.

n
1	3	4	5
2	–7	24	25
3	–117	44	125
4	–527	–336	625
5	–237	–3116	3125
6	11753	–10296	15625

Tab. 2: Ganzzahlige Verhältnisse

3 Zweites Beispiel

Wir beginnen mit dem pythagoreischen Dreieck mit den Seiten 15, 8, und 17 (Abb. 5 bis Abb. 7, Tab. 3 und 4).

Abb. 5: Ähnliche Dreiecke

Abb. 6: Zusätzliche pythagoreische Dreiecke

Abb. 7: Die zusätzlichen pythagoreischen Dreiecke

n	a	b	c
1	15	8	17
2	161/15	16	289/15
3	11/5	4888/225	4913/225
4	–31679/3375	5152/225	83521/3375
5	–14579/675	905768/50625	1419857/50625
6	–23647519/759375	107536/16875	24137569/759375
7	–26228383/759375	–116593352/11390625	410338673/11390625
8	–4968639359/170859375	–326420416/11390625	6975757441/170859375
9	–261919559/18984375	–113193708472/2562890625	118587876497/2562890625
10	375162560801/38443359375	–26410383344/512578125	2015993900449/38443359375
11	1431577894561/38443359375	–26710380775592/576650390625	34271896307633/576650390625
12	535788072480961/8649755859375	–5085919206368/192216796875	582622237229761/8649755859375
13	657850133433793/8649755859375	853309115549288/129746337890625	9904578032905937/129746337890625

Tab. 3: Maßangaben

Durch geeignetes Erweitern ergeben sich wieder pythagoreische Tripel (Tab. 4).

n
1	15	8	17
2	161	240	289
3	495	4888	4913
4	–31679	77280	83521
5	–1093425	905768	1419857
6	–23647519	4839120	24137569
7	–393425745	–116593352	410338673
8	–4968639359	–4896306240	6975757441
9	–35359140465	–113193708472	118587876497
10	375162560801	–1980778750800	2015993900449
11	21473668418415	–26710380775592	34271896307633
12	535788072480961	–228866364286560	582622237229761
13	9867752001506895	853309115549288	9904578032905937

Tab. 4: Ganzzahlige Verhältnisse

4 Fehlstart

Statt mit einem pythagoreischen Dreieck beginnen wir mit einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten 3 und 1 (Abb. 8). Es hat die Hypotenusenlänge √10 und ist deshalb kein pythagoreisches Dreieck.

Abb. 8: Keine pythagoreischen Dreiecke

Abb. 9: Pythagoreische Dreiecke?

Abb. 10: Pythagoreische Dreiecke?

Die Tabelle 5 gibt die Maßzahlen der gelben Dreiecke. Nur jedes zweite gelbe Dreieck ist pythagoreisch.

n	a	b	c
1	3	1	√10
2	8/3	2	10/3
3	2	26/9	10/9*√10
4	28/27	32/9	100/27
5	–4/27	316/81	100/81*√10
6	–352/243	104/27	1000/243
7	–664/243	2456/729	1000/729*√10
8	–8432/2187	1792/729	10000/2187
9	–1136/243	7696/6561	10000/6561*√10
10	–99712/19683	–2528/6561	100000/19683
11	–97184/19683	–122464/59049	100000/59049*√10
12	–752192/177147	–73216/19683	1000000/177147
13	–532544/177147	–2729024/531441	1000000/531441*√10
14	–2063872/1594323	–3261568/531441	10000000/1594323
15	399232/531441	–31417984/4782969	10000000/4782969*√10
16	42197248/14348907	–30220288/4782969	100000000/14348907
17	72417536/14348907	–229785344/43046721	100000000/43046721*√10
18	881543168/129140163	–17485312/4782969	1000000000/129140163
19	1038910976/129140163	–534767104/387420489	1000000000/387420489*√10
20	9884965888/1162261467	504143872/387420489	10000000000/1162261467

Tab. 5: Maßzahlen

Durch geeignetes Erweitern sehen wir, dass genau jedes zweite Tripel ein pythagoreisches Tripel ist (Tab. 6).

n
1	3	1	√10
2	8	6	10
3	18	26	10 √10
4	28	96	100
5	–12	316	100 √10
6	–352	936	1000
7	–1992	2456	1000 √10
8	–8432	5376	10000
9	–30672	7696	10000 √10
10	–99712	–7584	100000
11	–291552	–122464	100000 √10
12	–752192	–658944	1000000
13	–1597632	–2729024	1000000 √10
14	–2063872	–9784704	10000000
15	3593088	–31417984	10000000 √10
16	42197248	–90660864	100000000
17	217252608	–229785344	100000000 √10
18	881543168	–472103424	1000000000
19	3116732928	–534767104	1000000000 √10
20	9884965888	1512431616	10000000000

Tab. 6: Erweitert

In der Abbildung 11 sind die pythagoreischen Dreiecke gelb, die anderen rot gezeichnet.

Abb. 11: Die pythagoreischen Dreiecke sind gelb

Weblinks

Hans Walser: Potenzen pythagoreischer Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Potenzen_pyth_Dreiecke/Potenzen_pyth_Dreiecke.html

Hans Walser: Produkt pythagoreischer Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Produkt_pythagoreischer_Dreiecke/Produkt_pythagoreischer_Dreiecke.html

Literatur

Walser, Hans (2022): Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren. Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen. Springer Spektrum. ISBN 978-3-662-65131-5 und ISBN 978-3-662-65132-2 (eBook).