Hans Walser, [20260321]
Pythagoras-Zerlegung
1 Worum es geht
Die zum rechtwinkligen Dreieck mit einem rationalen Kathetenverhältnis a:b gehörende Pythagoras-Figur soll in kongruente Teile zerlegt werden.
Es kann ein zum gegebenen rechtwinkligen Dreieck ähnliches rechtwinkliges Dreieck als Teilfigur gewählt werden.
2 Paritätsunterscheidung
Ohne Beschränkung der Form des rechtwinkligen Dreiecks kann angenommen werden, dass a und b teilerfremd sind. Damit ist ausgeschlossen, dass a und b beide gerade sind. Damit bleiben folgende Fälle übrig:
(1) a und b sind beide ungerade. In diesem Fall wählen wir die Bezeichnung so, dass a ≤ b ist.
(2) a und b haben ungleiche Parität. In diesem Fall wählen wir die Bezeichnung so, dass a ungerade ist.
Im Folgenden einige Beispiele.
2.1 Zwei ungerade Kathetenlängen
Die Abbildung 1 zeigt die Situation für a = 1 und b = 1. Wir erhalten 2 gelbe und 2 blaue Teildreiecke.
Abb. 1: Ungerade Kathetenlängen
Die Abbildung 2 zeigt die Situation für a = 1 und b = 3. Wir haben 6 gelbe und 54 blaue Teildreiecke.
Abb. 2: Ungerade Kathetenlängen
Die Abbildung 3 zeigt die Situation für a = 3 und b = 5. Wir haben 270 gelbe und 750 blaue Teildreiecke.
Abb. 3: Ungerade Kathetenlängen
2.2 Eine ungerade und eine gerade Kathetenlänge
Die Abbildung 4 zeigt die Situation für a = 1 und b = 2.
Abb. 4: Ungerade und gerade Kathetenlängen
Die Abbildung 5 zeigt die Situation für a = 3 und b = 2.
Abb. 5: Ungerade und gerade Kathetenlängen
Die Abbildung 6 zeigt die Situation für a = 3 und b = 4. Es handelt sich um das pythagoreische Dreiecke mit dem Seitenverhältnis 3:4:5.
Abb. 6: Pythagoreisches Dreieck
Die Abbildung 7 zeigt die Situation für a = 5 und b = 2.
Abb. 7: Ungerade und gerade Kathetenlängen
3 Anzahlen
Wir benötigen 2a3b gelbe und 2ab3 blaue Teildreiecke, total also 2ab(a2 + b2) (Tab. 1).
|
a |
b |
gelb |
blau |
total |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
4 |
|
1 |
2 |
4 |
16 |
20 |
|
1 |
3 |
6 |
54 |
60 |
|
1 |
4 |
8 |
128 |
136 |
|
1 |
5 |
10 |
250 |
260 |
|
2 |
1 |
16 |
4 |
20 |
|
2 |
3 |
48 |
108 |
156 |
|
2 |
5 |
80 |
500 |
580 |
|
3 |
1 |
54 |
6 |
60 |
|
3 |
2 |
108 |
48 |
156 |
|
3 |
4 |
216 |
384 |
600 |
|
3 |
5 |
270 |
750 |
1020 |
|
4 |
1 |
128 |
8 |
136 |
|
4 |
3 |
384 |
216 |
600 |
|
4 |
5 |
640 |
1000 |
1640 |
|
5 |
1 |
250 |
10 |
260 |
|
5 |
2 |
500 |
80 |
580 |
|
5 |
3 |
750 |
270 |
1020 |
|
5 |
4 |
1000 |
640 |
1640 |
Tab. 1: Anzahl Teildreiecke
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