Hans Walser, [20260125]

Quadrate verdrehen

1 Worum es geht

Kinematische geometrische Spielerei

Spiralen, insbesondere logarithmische Spiralen

2 Beispiele

2.1 Beispiel 1

Die Seitenlängen der Quadrate (Abb. 1.1) nehmen linear zu.

Abb. 1.1: Ausgangslage

Nun verdrehen wir die Quadrate bis zum Anschlag (Abb. 1.2 und Abb. 1.3). Die Spiralen sind keine logarithmische Spiralen, da der Drehwinkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadraten nicht konstant ist.

Abb. 1.2: Verdrehen bis zum Anschlag

Abb. 1.3: Kinematik

2.2 Beispiel 2

Die Flächeninhalte der Quadrate sind 1, 2, 3, ... (Abb. 2.1).

Abb. 2.1: Flächeninhalte

Die Abbildung 2.2 zeigt die verdrehten Quadrate am Anschlag. Das innerste Quadrat allerdings könnte weiterdrehen.

Abb. 2.2: Am Anschlag

Abb. 2.3: Kinematik

2.3 Verdoppelung der Quadratfläche

Jedes Quadrat hat den doppelten Flächeninhalt wie das unmittelbar vorhergehende (Abb. 3.1).

Abb. 3.1: Verdoppelung der Quadratflächen

Es gibt im verdrehten Zustand keinen Anschlag, nur eine Berührung (Abb. 3.2).

Abb. 3.2: Gerade noch erreicht

Daher kann durchgedreht werden (Abb. 3.3). Dabei macht jedes Quadrat doppelt so viele Umdrehungen wie das nächst größere.

Abb. 3.3: Durchdrehen

2.4 Geometrische Folge

Die Seitenlängen der Quadrate bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor 1.2 (Abb. 4.1).

Abb. 4.1: Geometrische Folge

Da 1.2 < √2 ≈ 1.414 ist, haben wir einen echten Anschlag (Abb. 4.2). Die Spiralen sind logarithmisch.

Abb. 4.2: Anschlag

Abb. 4.3: Kinematik

2.5 Fibonacci-Folge

Die Quadratflächen entsprechen der Fibonacci-Folge (Abb. 5.1).

Abb. 5.1: Fibonacci-Folge

Die Spiralen sind näherungsweise logarithmisch (Abb. 5.2).

Abb. 5.2: Am Anschlag

Abb. 5.3: Kinematik

Weblinks

Hans Walser: Fibonacci-Turm

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Turm/Fibonacci-Turm.html