1 Worum es geht

Rastergeometrie

Pythagoreische Dreiecke

Goldener Schnitt

Fünftelung des Quadrates

2 Konstruktion

In ein Quadrat zeichnen wir ein 5×5-Raster (Abb. 1). Das Raster besteht aus 5×5 = 25 Einzelquadraten.

Abb. 1: 5×5-Raster

Nun zeichnen wir einen Viertelkreis mit dem Zentrum in einer Quadratecke durch die beiden anliegenden Quadratecken (Abb. 2).

Abb. 2: Viertelkreis

Der Viertelkreis verläuft durch zwei innere Gitterpunkte. Nachweis: pythagoreisches Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 (Abb. 3).

Abb. 3: Pythagoreisches Dreieck

Wir zeichnen die drei weiteren Viertelkreise ein und erhalten so insgesamt acht innere Gitterpunkte auf den Viertelkreisen (Abb. 4). Diese inneren Gitterpunkte bilden ein gleichwinkliges, aber nicht gleichseitiges Achteck. Es hat einen Umkreis.

Abb. 4: Achteck mit Umkreis

Der Flächeninhalt des Achtecks ist 7/25 des Flächeninhaltes des großen Quadrates (Abb. 5).

Abb. 5: Flächeninhalt 7/25

3 Der Goldene Schnitt

Der Umkreis zerlegt eine Quadratdiagonale im Verhältnis des Goldenen Schnittes, in der Reihenfolge Minor-Major-Minor („der Dicke in der Mitte“) (Abb. 6). Nachweis rechnerisch.

Abb. 6: Der Goldene Schnitt

4 Fünftelquadrat

Wir verbinden jeden zweiten Gitterpunkt auf dem Umkreis und erhalten so ein kleines Quadrat (hellblau Abb. 7). Die Seitenverlängerungen dieses Quadrates verlaufen einerseits durch die Ecken des großen Quadrates und andererseits durch die Seitenmitten des großen Quadrates.

Abb. 7: Kleines Quadrat

Der Flächeninhalt des kleinen Quadrates ist 5/25 = 1/5 des Flächeninhaltes des großen Quadrates (Abb. 8).

Abb. 8: Fünftel

Wir können die Figur ergänzen zu fünf flächengleichen Teilen (Abb. 9).

Abb. 9.1: Fünf flächengleiche Teile

Abb. 9.2: Fünf flächengleiche Teile

Weblinks

Hans Walser: Quadrat fünfteln

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadrat_fuenfteln/Quadrat_fuenfteln.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7