Hans Walser, [20251017]
Quadrat fünfteln
1 Worum es geht
Verallgemeinerung einer klassischen Schulaufgabe
Zerlegungsgleichheit
Eine offene Frage
2 Klassisch
Wir verbinden die Ecken eines Quadrates zyklisch mit den Seitenmitten einer nicht anliegenden Seite. Dadurch entsteht in der Mitte ein kleineres Quadrat (hellblau in Abb. 1).
Abb. 1: Quadrat in der Mitte
In der Schule wird bewiesen, dass der Flächeninhalt des kleinen hellblauen Quadrates ein Fünftel des Flächeninhaltes des großen Quadrates ist.
Ein Zerlegungsbeweis geht folgendermaßen: Außerhalb des kleinen hellblauen Quadrates gibt es vier kongruente rechtwinklige Dreiecke (Abb. 2). Wir müssen nun zeigen, dass eines dieser vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecke denselben Flächeninhalt hat wie das kleine hellblaue Quadrat. Dann haben nämlich die fünf Teilfiguren je einen Fünftel des Flächeninhaltes des großen Quadrates.
Abb. 2: Quadrat und rechtwinkliges Dreieck
Die Abbildungen 3 und 4 geben eine gemeinsame Zerlegung für den Nachweis der Flächengleichheit. Die Zerlegung arbeitet mit nur zwei Teilfiguren.
Abb. 3: Gemeinsame Zerlegung
Abb. 4: Gemeinsame Zerlegung
Die Abbildung 5 zeigt eine Variante des Beweises.
Abb. 5: Beweisvariante
3 Verallgemeinerung
Wir lassen Größe des kleinen hellblauen Quadrates unverändert, verdrehen es aber samt den Seitenverlängerungen. So entsteht zum Beispiel die Figur der Abbildung 6.
Abb. 6: Verallgemeinerung
Das kleine hellblaue Quadrat ist nun flächengleich zu jedem der vier äußeren Vierecke.
Leider habe ich keine schöne gemeinsame Zerlegung gefunden. Nach dem Satz von Bolyai-Gerwien muss es aber ein gemeinsame Zerlegung geben.
4 Sonderfälle
4.1 Klassisches Beispiel mit Dreiecksraster
Wir unterteilen das Quadrat in 100 rechtwinklige Dreiecke mit dem Kathetenverhältnis 2:1 (Abb. 7).
Abb. 7: 100 Rasterdreiecke
Wir können die Rasterdreiecke unter Beibehaltung der Orientierung der einzelnen Rasterdreiecke anders anordnen, so dass die Flächengleichheit sichtbar wird (Abb. 8).
Abb. 8: Andere Anordnung
4.2 Goldener Schnitt
Wir platzieren das kleine hellblaue Quadrat seitenparallel zum großen Quadrat (Abb. 9).
Abb. 9: Seitenparallele Quadrate
Dabei erscheint der Goldene Schnitt. Die drei markierten Punkte (Abb. 10) unterteilen die Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Abb. 10: Der Goldene Schnitt. Major und Minor
Die Abbildung 11 zeigt eine gemeinsame Zerlegung des kleinen Quadrates und eines der vier Rechtecke.
Abb. 11: Gemeinsame Zerlegung
Der Goldene Schnitt erscheint an mehreren Orten. Daher kann ein Pentagramm eingepasst werden (Abb. 12).
Abb. 12: Pentagramm
Die gemeinsame Zerlegung kommt mit zweimal zwei kongruenten Teilfiguren aus (Abb. 13).
Abb. 13: Gemeinsame Zerlegung
4.3 45°
Wir drehen das kleine hellblaue Quadrat so, dass seine Seiten mit den Seiten des großen Quadrates Winkel von 45° einschließen (Abb. 14).
Abb. 14: Winkel von 45°
Der Autor gesteht, dass es ihn einige Mühe gekostet hat, eine gemeinsame Zerlegung zu finden (Abb. 15 und Abb. 16).
Abb. 15: Gemeinsame Zerlegung
Abb. 16: Gemeinsame Zerlegung
Weblinks
Hans Walser: Dreieck vierteln
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreieck_vierteln/Dreieck_vierteln.html
Hans Walser: Quadrat und rechtwinkliges Dreieck
Literatur
Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt.
Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer
Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN
978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0
Walser, Hans (2024): The Golden
Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN
978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7