Hans Walser, [20251107]

Quadratunterteilung

Anregung: Achilles Iatropoulos, Leverkusen

1 Worum es geht

Einem gegebenen Quadrat wird ein (mn + 1)×(mn + 1)-Raster einbeschrieben.

2 Vorgehen

Exemplarisch für m = 3 und n = 5.

In das Quadrat (normierte Seitenlänge 1) zeichnen wir, beginnend bei der Ecke links oben, m Linien mit der Steigung –m (Abb. 1). Wir haben also fallende Linien. Den Abstand zwischen den Linien wählen wir so, dass die Identifikation des oberen mit dem unteren Rand des Quadrates zu einer durchgehenden Linie führt.

Abb. 1: Fallende Linien

Entsprechend zeichnen wir, ausgehend von der Ecke links unten, n ansteigende Linien mit der Steigung 1/n (Abb. 2).

Abb. 2: Steigende Linien

Die fallenden und die steigenden Linien haben insgesamt mn Schnittpunkte, welche ein Parallelogramm-Raster bilden.

Nun können wir ein quadratisches ein (mn + 1)×(mn + 1)-Raster einzeichnen (rot in Abb. 3). Durch jeden Schnittpunkt verlaufen genau eine senkrechte und genau eine waagerechte Rasterlinie. Umgekehrt enthält jede senkrechte und jede waagerechte Rasterlinie genau einen Schnittpunkt.

Abb. 3: Quadratisches Raster

Der Beweis ergibt sich durch Abzählen der Quadrate im einbeschriebenen roten Raster.

3 Galerie

Abb. 4: Galerie

Weblinks

Hans Walser: Quadratunterteilung

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadratunterteilung3/Quadratunterteilung3.html