Hans Walser, [20260101]

Rösselsprung-Vielecke

1 Worum es geht

Geschlossene Vielecke, welche von einem Springer auf einem Schachbrett generiert werden können.

Flächeninhalt. Satz von Pick. Formel von Bender.

2 Das Rösselsprung-Quadrat

Die Abbildung 1 zeigt ein Beispiel eines Rösselsprung-Quadrates.

Abb. 1: Rösselsprung-Quadrat

Das Rösselsprung-Quadrat hat die Seitenlänge √2 ≈ 2.236, gemessen in Einheiten der Rasterung des Schachbrettes. Der Flächeninhalt ist daher 5.

3 Paritätsproblem

Der Springer wechselt bei jedem Sprung die Farbe des Feldes des Schachbrettes. Ein geschlossenes Vieleck ist daher nur möglich mit einer geraden Anzahl Sprüngen.

Insbesondere gibt es kein Rösselsprung-Dreieck.

Hingegen kann die Eckenzahl ungerade sein. Das Siebeneck (Abb. 2) benötigt aber acht Sprünge. Wir haben eine Springerposition auf einem gerade durchgehenden Rand. Die Figur hat den Flächeninhalt 12.

Abb. 2: Siebeneck

4 Weitere Beispiele

In den folgenden Beispielen ist jeweils der Flächeninhalt angegeben.

4.1 Vier Rösselsprünge

Mit vier Rösselsprüngen ergeben sich neben dem Quadrat (Abb. 1) auch Rhomben (Abb. 3).

Abb. 3: Vier Rösselsprünge

4.2 Sechs Rösselsprünge

Die Abbildung zeigt ein streng konvexes Sechseck, ein Parallelogramm und ein Rechteck mit je sechs Rösselsprüngen.

Abb. 4: Konvexes Sechseck, Parallelogramm und Rechteck

Weiter gibt es nicht-konvexe Sechsecke (Abb. 5).

Abb. 5: Nicht-konvexe Sechsecke

Schließlich gibt es auch Sechsecke mit Selbstüberschneidung des Randes (Abb. 6). Der Flächeninhalt wird als orientierter Flächeninhalt gesehen. Die eingezeichneten Werte sind die Differenz der absoluten Flächeninhalte der beiden Teile. Zur Flächenberechnung siehe unten.

Abb. 6: Selbstüberschneidung

4.3 Acht Rösselsprünge

Hier noch einige Beispiele von mit acht Rösselsprüngen.

Das Achteck (Abb. 7) ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig. Es ist daher kein regelmäßiges Achteck.

Abb. 7: Achteck, Quadrat, Rechteck

Abb. 8: Tailliert

Abb. 9: Sterne

Abb. 10: Verschiedene Formen

5 Umfangberechnung

Die Rösselsprung-Vielecke sind gleichseitig mit der Seitenlänge √5. Bei r Rösselsprüngen haben wir also den Umfang U = r √5.

6 Flächenberechnung

Für die Flächenberechnung gibt es verschiedene Methoden.

Zunächst zwei Methoden, welche funktionieren, solange der Rand keine Selbstüberschneidung hat.

6.1 Umbau

Da die Anzahl r der Rösselsprünge gerade ist, können wir im Wechsel rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten 1 und 2 sowie der Hypotenuse √5 innen abschneiden und außen ansetzen, ohne dass sich der Flächeninhalt ändert. Die resultierende Figur ist aus Einheitsquadraten zusammengesetzt, welche sich leicht abzählen lassen.

Abb. 11: Abschneiden und Ansetzen

6.2 Satz von Pick

Wir zählen die im Innern des Rösselsprung-Vielecks liegenden Mittelpunkte der Schachbrettfelder (rot in Abb. 12). Die Schachbrettfelder brauchen dabei nicht vollständig im Innern des Rösselsprung-Vierecks zu liegen. Es sei i die Anzahl der im Innern liegenden Mittelpunkte.

Abb. 12: Mittelpunkte im Innern

Für den Flächeninhalt A der Rösselsprungfigur gilt die Formel:

A = i + r/2 – 1

Diese Formel ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von Pick.

6.3 Formel von Bender

Für den orientierten Flächeninhalt (zum Beispiel bei den Vielecken mit Selbstüberschneidung des Randes der Abbildung 6) können wir vorgehen wie folgt. Das Schachbrett wird mit einem kartesischen Koordinatensystem mit der Seitenlänge eines Schachbrettfeldes als Einheit versehen. Die Positionen des Rösselsprungs werden von 1 bis r durchnummeriert. Sie haben die Koordinaten (x_i, y_i), i ∈ {1, 2, ... , r}.

Dann gilt für den orientierten Flächeninhalt A:

Herleitung der Formel hier.

Weblinks

Hans Walser: Polygonfläche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Polygonflaeche/Polygonflaeche.htm

Wikipedia: Satz von Pick

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Pick