1 Konstruktion

Wir beginnen mit einem Dreieck ABC und einer Geraden durch C (Abb. 1).

Abb. 1: Startsituation

Nun passen wir zum Dreieck ABC ähnliche Dreiecke ein wie folgt.

(a) Der Winkel γ soll bei A oder B liegen.

(b) Das Bild der Strecke AB soll auf der Geraden liegen.

Da wir gleichsinnige und ungleichsinnige Ähnlichkeit zulassen, gibt es vier Möglichkeiten (Abb. 2).

Abb. 2.1: Gleichsinnige Ähnlichkeit

Abb. 2.2: Das Dreieck bei A ist ungleichsinnig ähnlich

Abb. 2.3: Das Dreieck bei B ist ungleichsinnig ähnlich

Abb. 2.4: Die beiden gelben Dreiecke sind ungleichsinnig ähnlich zum magenta Ausgangsdreieck

2 Gemeinsamer Eckpunkt

Genau im letzten Fall (Abb. 2.4) haben die beiden gelben Dreiecke eine Ecke gemeinsam. Dies ist unabhängig von der Position der Geraden durch C (Abb. 3).

Abb. 3: Gemeinsamer Eckpunkt

3 Beweis

Für den Beweis gehen wir umgekehrt vor. Wir konstruieren eine Situation mit gemeinsamem Eckpunkt und zeigen, dass dies zur ungleichsinnigen Ähnlichkeit führt.

Zunächst schneiden wir die Gerade mit dem Umkreis des Dreiecks ABC (Abb. 4). Schnittpunkt D.

Abb. 4: Schnitt mit Umkreis

Die beiden blau eingezeichneten Winkel (Abb. 5) sind gleich groß, nämlich γ (Ortsbogen über AB).

Abb. 5: Gleiche blaue Winkel

Die beiden grün eingezeichneten Winkel (Abb. 6) sind gleich groß, nämlich β (Ortsbogen über CA).

Abb. 6: Gleiche grüne Winkel

Die beiden rot eingezeichneten Winkel (Abb. 7) sind gleich groß, nämlich α (Ergänzungswinkel auf 180°).

Abb. 7: Gleiche rote Winkel

Nun können wir eindeutig bestimmte zum Startdreieck ungleichsinnig ähnliche Dreiecke einzeichnen (Abb. 8). Sie haben die Ecke D gemeinsam.

Abb. 8: Ungleichsinnig ähnliche Dreiecke mit gemeinsamem Eckpunkt

Weblinks

Hans Walser: Schnittpunkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schnittpunkt9/Schnittpunkt9.html

Hans Walser: Schnittpunkte

https://walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/