1 Worum es geht

Spielerei mit gleichschenkligen Dreiecken

2 Konstruktion

Wir beginnen mit einem grümnen gleichschenkligen Dreieck und einer schwarzen Geraden durch dessen Spitze (Abb. 1).

Abb. 1: Gleichschenkliges Dreieck und Gerade

Wir passen zwei weitere dazu ähnliche rote gleichschenklige Dreieck so ein, dass ihre Spitzen in den Basisecken des grünen Dreiecks liegen und ihre Basis auf der schwarzen Geraden (Abb. 2).

Abb. 2: Zwei ähnliche Dreieck einpassen

3 Gemeinsamer Basispunkt

Die beiden roten Dreiecke haben einen Basispunkt gemeinsam (Abb. 3). Dies unabhängig von der Richtung der schwarzen Geraden.

Abb. 3: Gemeinsamer Basispunkt

Man kann das auch als Schnittpunkteigenschaft formulieren: Die einander zugewandten Schenkel der roten Dreiecke und die schwarze Gerade schneiden sich in einem Punkt.

4 Beweis

Die roten Trägergeraden der beiden einander zugewandten Schenkel schneiden sich unter dem spitzen Winkel der gleichschenkligen Dreiecke. Ihr Schnittpunkt liegt daher auf dem Ortsbogen zu diesem Winkel über der Basis des grünen Dreiecks. Dieser Ortsbogen ist der Umkreis des grünen Dreiecks.

Abb. 4: Schnittwinkel der roten Geraden

Für die blaue Winkelhalbierende des Schnittwinkels der beiden roten Geraden (Abb. 5) gilt folgendes:

(1) Sie steht senkrecht auf der schwarzen Geraden.

(2) Sie verläuft durch den diametralen Punkt der Spitze des grünen Dreiecks auf dem Umkreis.

Der Umkreis ist daher der Thaleskreis des durch die schwarze Gerade und die blaue Gerade gebildeten rechten Winkels. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liegt also auf dem Umkreis, so wie der Schnittpunkt der beiden roten Geraden. Die beiden Schnittpunkt fallen daher zusammen. Damit ist die Schnittpunkteigenschaft bewiesen.

Abb. 5: Winkelhalbierende

Weblinks

Hans Walser: Invariante Flächensumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Flaechensumme3/Invariante_Flaechensumme3.html

Hans Walser: Schnittpunkte

https://walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/