Hans Walser, [20261029]
Invariante Flächensumme
1 Worum es geht
Spiel mit Flächen von gleichschenkligen Dreiecken
2 Konstruktion
Dem Einheitskreis beschreiben wir ein regelmäßiges n-Eck ein (Abb. 1 für n = 3). Weiter zeichnen wir eine Gerade durch den Mittelpunkt.
Abb. 1: Regelmäßiges Vieleck im Einheitskreis
Zu jeder Ecke des Vielecks zeichnen wir ein gleichschenkliges Dreieck wie folgt. Die Spitze sei in der Dreiecksecke, die Basis auf der Geraden. Der Winkel an der Spitze sei 360°/n. Für n = 3 gibt das also drei gleichschenklige Dreiecke mit dem Spitzenwinkel 120° (Abb. 2). Das Interessante dabei ist, dass die Basisecken der gleichschenkligen Dreiecke bündig aneinanderschließen. Beweis für diesen Sachverhalt hier.
Abb. 2: Gleichschenklige Dreiecke
3 Invariante Flächensumme
Die Flächensumme der gleichschenkligen Dreiecke bleibt invariant bei einer Drehung des n-Ecks im Kreis (Abb. 3). Für n = 3 ist die invariante Flächensumme das Doppelte des Flächeninhaltes des einbeschriebenen grünen gleichseitigen Dreiecks. Dies geht aus dem Sonderfall (Verdrehung 0) hervor.
Abb. 3: Invariante Flächensumme. Sonderfall
4 Weitere Beispiele
4.1 Quadrat
Beim Quadrat (Abb. 4) ist die Flächensumme gleich groß wie der Flächeninhalt des Quadrates.
Abb. 4: Einbeschriebenes Quadrat
4.2 Regelmäßiges Fünfeck
Abb. 5: Regelmäßiges Fünfeck
4.3 Regelmäßiges Sechseck
Beim regelmäßigen Sechseck (Abb. 6) ist die Flächensumme ⅔ des Flächeninhaltes des regelmäßigen Sechseckes.
Abb. 6: Regelmäßiges Sechseck
4.4 Regelmäßiges Siebeneck
Abb. 7: Regelmäßiges Siebeneck
4.5 Regelmäßiges Achteck
Abb. 8: Regelmäßiges Achteck
5 Beweis der Flächeninvarianz
Der Beweis ergibt sich aus der bekannten Formel (1):
(1) 
Diese Summe ist unabhängig vom Parameter t.
Für die von der Eckenzahl n und dem Drehparameter t abhängige Flächensumme F(n, t) der gleichschenkligen Dreiecke errechnet man:
(2) 
Wegen (1) ergibt sich daraus:
(3) 
Die Flächensumme ist also tatsächlich nur von der Eckenzahl n abhängig, bleibt aber beim Drehen (Drehwinkel t) des regelmäßigen n-Ecks invariant. Also F(n). Dies war zu zeigen.
Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte. Die dritte und die vierte Spalte geben das Verhältnis zum Flächeninhalt des jeweiligen n-Eckes an.
|
n |
F(n) |
Relativ |
Relativ |
|
3 |
2.598076212 |
2. |
2 |
|
4 |
2. |
1. |
1 |
|
5 |
1.816356321 |
.7639320228 |
3 – √5 |
|
6 |
1.732050808 |
.6666666667 |
⅔ |
|
7 |
1.685511167 |
.6159570572 |
|
|
8 |
1.656854250 |
.5857864375 |
|
|
9 |
1.637866054 |
.5662371656 |
|
|
10 |
1.624598482 |
.5527864047 |
|
|
11 |
1.614945711 |
.5431082585 |
|
|
12 |
1.607695154 |
.5358983845 |
|
Tab. 1: Flächensumme
Die Tabelle 2 gibt illustriert das Verhalten für n → ∞. Wir vermuten F(n) → ½ π. Der Flächenanteil am regelmäßigen n-Eck strebt gegen ½.
|
n |
F(n) |
Relativ |
|
1000 |
1.570801494 |
.5000049350 |
|
2000 |
1.570797619 |
.5000012340 |
|
3000 |
1.570796901 |
.5000005480 |
|
4000 |
1.570796650 |
.5000003080 |
|
5000 |
1.570796534 |
.5000001970 |
|
6000 |
1.570796470 |
.5000001370 |
|
7000 |
1.570796432 |
.5000001005 |
|
8000 |
1.570796408 |
.5000000770 |
|
9000 |
1.570796391 |
.5000000610 |
|
10000 |
1.570796378 |
.5000000490 |
Tab. 2: Flächensumme
Weblinks
Hans Walser: Schnittpunkt
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schnittpunkt9/Schnittpunkt9.html
Hans Walser: Invariante Flächensumme
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Flaechensumme2/Invariante_Flaechensumme2.html
Hans Walser: Invariante Flächensumme
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Flaechensumme/Invariante_Flaechensumme.html
Hans Walser: Invariante Flächensummen (Vortrag)
https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20261022/index.html
Hans Walser: Invariante Quadratsumme
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Quadratsumme2/Invariante_Quadratsumme2.html
Hans Walser: Invariante Quadratsumme
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Inv_Quadratsumme/Inv_Quadratsumme.htm