1 Worum es geht

Spiel mit Dreiecksflächen

Mit DGS erhärtet

Beweis fehlt

2 Konstruktion

Dem Einheitskreis beschreiben wir ein regelmäßiges n-Eck ein (Abb. 1 für n = 3).

Abb. 1: Vieleck im Einheitskreis

Die Seiten des Vieleckes projizieren wir normal auf eine Gerade durch den Kreismittelpunkt (Abb. 2).

Abb. 2: Normalprojektion der Vieleckseiten

Über jeder projizierten Seite errichten wir ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 3).

Abb. 3: Gleichseitige Dreiecke

3 Invariante Flächensumme

Die Summe der Dreiecksflächen bleibt beim Drehen des regelmäßigen Vielecks invariant (Abb. 4).

Abb. 4: Invariante Flächensumme

4 Weitere Beispiele

Abb. 5: Quadrat

Abb. 6: Regelmäßiges Zehneck

5 Bahnkurven

Die Bahnkurven der Spitzen der gleichseitigen Dreiecke sind Ellipsen mit der horizontalen Halbachse a = cos(π/n) und der vertikalen Halbachse b = √3 sin(π/n).

Abb. 7: Bahnkurve beim Dreieck

Abb. 8: Bahnkurve beim Quadrat

Abb. 9: Bahnkurve beim regelmäßigen Fünfeck

Für n = 6 ist die Bahnkurve ein Kreis, und zwar der Inkreis des Sechseckes (Abb. 10).

Abb. 10: Bahnkurve beim regelmäßigen Sechseck

Abb. 11: Bahnkurve beim regelmäßigen Zehneck

Weblinks

Hans Walser: Invariante Quadratsumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Quadratsumme2/Invariante_Quadratsumme2.html

Hans Walser: Invariante Quadratsumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Inv_Quadratsumme/Inv_Quadratsumme.htm

Hans Walser: Invariante Flächensumme

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invariante_Flaechensumme/Invariante_Flaechensumme.html

Hans Walser: Invariante Flächensummen (Vortrag)

https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20261022/index.html