1 Worum es geht

Kombinatorische Geometrie

Orientierte Flächeninhalte

Flächenvergleiche

2 Orientierter Flächeninhalt

Für den orientierten Flächeninhalt eines n-Eckes können wir rechnerisch vorgehen wie folgt. Die Eckpunkte werden von 1 bis n durchnummeriert. Sie haben die Koordinaten (x_i, y_i), i ∈ {1, 2, ... , n}.

Dann gilt für den orientierten Flächeninhalt A:

(1)

Dabei ist y_n₊₁ = y₁ und y₀ = y_n zu setzen (zyklisches Vorgehen). Herleitung der Formel hier.

Im Folgenden wird mit dem orientierten Flächeninhalt gearbeitet.

3 Der Goldene Schnitt

Wir verwenden für numerische Angaben gelegentlich den Goldenen Schnitt Φ:

Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618

4 Konstruktion

Wir beginnen mit fünf gleichmäßig auf dem Einheitskreis verteilten Punkten (Abb. 1).

Abb. 1: Fünf Punkte

Wir fragen nun nach allen Fünfecken mit den fünf Ecken in genau diesen fünf Punkten.

Wegen 5! = 120 gibt es 120 mögliche Anordnungen der Eckpunkte in den gegebenen fünf Punkten. Eine Durchmusterung dieser 120 Permutationen zeigt aber, dass es bis auf Drehungen, Symmetrien und Änderung des Durchlaufsinnes nur 4 verschiedene Fälle gibt (Abb. 2). Die Änderung des Durchlaufsinnes ändert das Vorzeichen des orientierten Flächeninhaltes.

5 Die vier Fälle

5.1 Regelmäßiges Fünfeck. Pentagon

Das regelmäßige Fünfeck (Pentagon) hat den orientierten Flächeninhalt 5/4 √(2 + Φ) ≈ 2.378.

In den 120 Permutationen kommt das regelmäßige Fünfeck insgesamt 10 mal vor, 5 mal positiv orientiert und 5 mal negativ.

Abb. 2.1: Pentagon

5.2 „Fisch“

Das Beispiel mit einer Überkreuzung des Randes wird als „Fisch“ bezeichnet (Abb. 2.2). Sein orientierter Flächeninhalt (man beachte, dass der Flächeninhalt des Fischschwanzes negativ ist) beträgt ¼√(10 + 5Φ) ≈ 1.063.

Das Verhältnis Fischfläche : Pentagonfläche ist √(⅕) ≈ 0.4472.

Abb. 2.2: Fisch

In den 120 Permutationen kommt der Fisch insgesamt 50 mal vor, 25 mal positiv orientiert und 25 mal negativ.

5.3 „Brücke“

Das Beispiel mit zwei Überkreuzungen des Randes wird als „Brücke“ bezeichnet (Abb. 2.3). Sein orientierter Flächeninhalt ist negativ, da nur der kleinere Teil positiv umfahren wird. Der Flächeninhalt ist –¼sqrt(10 + 5 Φ)/ Φ ≈ –0.6572.

Das Verhältnis Brückenfläche : Pentagonfläche ist ⅕( Φ – 3) ≈ –0.2764.

Abb. 2.3: „Brücke“

In den 120 Permutationen kommt Die Brücke insgesamt 50 mal vor, 25 mal positiv orientiert und 25 mal negativ.

5.4 Pentagramm

Beim Pentagramm haben wir fünf Überkreuzungen (Abb. 2.4). Sein orientierter Flächeninhalt (das zentrale Fünfeck zählt doppelt) ist 5/4√(2+ Φ)/ Φ ≈ 1.469.

Das Verhältnis Pentagrammfläche : Pentagonfläche ist 1/Φ ≈ 0.618.

Abb. 2.4: Pentagramm

In den 120 Permutationen kommt das Pentagramm insgesamt 10 mal vor, 5 mal positiv orientiert und 5 mal negativ.

5.5 Animationen

Die Animation der Abbildung 3 orgelt alle 4! = 24 Fälle mit Startpunkt oben durch.

Abb. 3: Animation

In der Animation der Abbildung 4 werden alle 5! = 120 Fälle durchgespielt.

Abb. 4: Lange Animation

Weblinks

Hans Walser: Polygonfläche

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Polygonflaeche/Polygonflaeche.htm