Hans Walser, [20250713]

Summe = Produkt

Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Worum es geht

Eine trigonometrische Formel im Umfeld des Kotangens.

Ein Volumensatz beim Dreieck.

2 Die Formel

Für

gilt:

Also: Summe = Produkt

Das Additionstheorem für den Kotangens lautet (man beachte die Reihenfolge im Nenner):

Aus

folgt zunächst:

Wegen

ergibt sich:

Aus dem Additionstheorem

erhalten wir schließlich:

Damit wird nach kurzer Rechnung:

Weiter erhalten wir direkt:

Es ist also:

Dies war zu zeigen.

Wir arbeiten in einem Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c sowie den Innenwinkeln α, β und γ. Es ist also:

Weiter sei

der halbe Umfang und r der Inkreisradius.

Wir normieren den Inkreisradius r = 1.

Der Flächeninhalt F des Dreieckes kann nun auf zwei Arten berechnet werden:

Umfang mal Inkreisradius durch zwei: F = s

Heronsche Formel: F² = s (s – a) (s – b) (s – c)

Gleichsetzen liefert:

s² = s (s – a) (s – b) (s – c)

s = (s – a) (s – b) (s – c)

Wegen r = 1 ist (Tangentenabschnitte an den Inkreis, Abb. 1):

Abb. 1: Tangentenabschnitt an den Inkreis

Also:

Weiter ist:

(s – a) + (s – b) + (s – c) = 3s – (a + b + c) = 3s – 2s = s

Also:

Somit ist:

Dies war zu zeigen.

Weblinks

Hans Walser: Tangens im Dreieck