1 Worum es geht

Zahlenspiel

Grenzwerte

2 Spielvorgang

Wir haben zwei Messbecher A und B, welche je einen Liter fassen. Wir gießen in die beiden Becher insgesamt einen Liter Wasser ein, zum Beispiel 0.4 Liter in den Becher A und 0.6 Liter in den Becher B.

Nun gießen wir die Hälfte des Inhaltes vom Becher A in den Becher B. Dann einen Drittel des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B zurück in den Becher A. Dann wiederum die Hälfte des jetzigen Inhaltes des Bechers A in den Becher B. Dann wiederum einen Drittel des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B zurück in den Becher A. Und so weiter hin und her. Wie üblich nimmt man an, dass nichts verschüttet wird.

Was geschieht?

Die Tabelle 1 dokumentiert die ersten 10 Umgießschritte.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.4	.6	Startsituation
1	.2000000000	.8000000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.4666666667	.5333333333	Umgießen eines Drittels von B nach A
3	.2333333333	.7666666667	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.4888888889	.5111111111	Umgießen eines Drittels von B nach A
5	.2444444445	.7555555555	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.4962962963	.5037037037	Umgießen eines Drittels von B nach A
7	.2481481481	.7518518519	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.4987654321	.5012345679	Umgießen eines Drittels von B nach A
9	.2493827161	.7506172839	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.4995884774	.5004115226	Umgießen eines Drittels von B nach A

Tab. 1: Die ersten Umgießschritte

Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt. Die Inhalte des Messbechers A sind als rote, jene des Messbechers B als blaue Balkendiagramme angegeben.

Ein Bild, das Screenshot enthält.

Automatisch generierte Beschreibung

Abb. 1: Die ersten 10 Umgießschritte

3 Vermutungen

Wir vermuten Grenzwerte.

Für den Inhalt des Messbechers A vermuten wir, dass die Inhalte nach einer geraden Anzahl von Umgießschritten gegen ½ streben, nach einer ungeraden Anzahl von Umgießschritten nach ¼.

4 Triviales Beispiel

Mit den Startwerten ½ für A und entsprechend ½ für B erhalten wir die Werte der Tabelle 2.

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.5000000000	.5000000000	Startsituation
1	.2500000000	.7500000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.5000000000	.5000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
3	.2500000000	.7500000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.5000000000	.5000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
5	.2500000000	.7500000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.5000000000	.5000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
7	.2500000000	.7500000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.5000000000	.5000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A
9	.2500000000	.7500000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.5000000000	.5000000000	Umgießen eines Drittels von B nach A

Tab. 2: Spezielle Startwerte

Die Zahlen für den Messbecher A pendeln zwischen ¼ und ½. Wir haben eine stabile Situation.

5 Relatives Vorgehen

Für den Beweis der Grenzwertvermutungen berechnen wir die Abweichungen von der stabilen Situation (Tab. 3).

Umgießschritt	Inhalt A	Abweichung	Inhalt B	Abweichung
0	.4	–.1000000000	.6	.1000000000	Startsituation
1	.2000000000	–.0500000000	.8000000000	.0500000000	Umgießen der Hälfte von A nach B
2	.4666666667	–.0333333333	.5333333333	.0333333333	Umgießen eines Drittels von B nach A
3	.2333333333	–.0166666667	.7666666667	.0166666667	Umgießen der Hälfte von A nach B
4	.4888888889	–.0111111111	.5111111111	.0111111111	Umgießen eines Drittels von B nach A
5	.2444444445	–.0055555555	.7555555555	.0055555555	Umgießen der Hälfte von A nach B
6	.4962962963	–.0037037037	.5037037037	.0037037037	Umgießen eines Drittels von B nach A
7	.2481481481	–.0018518519	.7518518519	.0018518519	Umgießen der Hälfte von A nach B
8	.4987654321	–.0012345679	.5012345679	.0012345679	Umgießen eines Drittels von B nach A
9	.2493827161	–.0006172839	.7506172839	.0006172839	Umgießen der Hälfte von A nach B
10	.4995884774	–.0004115226	.5004115226	.0004115226	Umgießen eines Drittels von B nach A

Tab. 3: Abweichungen von der stabilen Situation

Beim Übergang von einem Umgießschritt mit gerader Nummer zu einem mit ungerader Nummer wird die Abweichung halbiert, beim Übergang von einem Umgießschritt mit ungerader Nummer zu einem mit gerader Nummer wird die Abweichung auf zwei Drittel reduziert. Die Abweichungen bilden also eine Nullfolge.

Dies kann auch für andere Startwerte und formal gezeigt werden.

6 Andere Reduktionen

Wir verändern nun das Umgießverfahren wie folgt: wir gießen einen Drittel des Inhaltes vom Becher A in den Becher B. Dann einen Viertel des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B zurück in den Becher A. Dann wiederum einen Drittel des jetzigen Inhaltes des Bechers A in den Becher B. Dann wiederum einen Viertel des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B zurück in den Becher A. Und so weiter (Tab. 4).

Umgießschritt	Inhalt A	Inhalt B
0	.4	.6	Startsituation
1	.2666666667	.7333333333	Umgießen eines Drittels von A nach B
2	.4500000000	.5500000000	Umgießen eines Viertels von B nach A
3	.3000000000	.7000000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
4	.4750000000	.5250000000	Umgießen eines Viertels von B nach A
5	.3166666667	.6833333333	Umgießen eines Drittels von A nach B
6	.4875000000	.5125000000	Umgießen eines Viertels von B nach A
7	.3250000000	.6750000000	Umgießen eines Drittels von A nach B
8	.4937500000	.5062500000	Umgießen eines Viertels von B nach A
9	.3291666667	.6708333333	Umgießen eines Drittels von A nach B
10	.4968750000	.5031250000	Umgießen eines Viertels von B nach A

Tab. 4: Verändertes Umgießverfahren

Für den Inhalt des Messbechers A gilt, dass die Inhalte nach einer geraden Anzahl von Umgießschritten nach wie vor gegen ½ streben, nach einer ungeraden Anzahl von Umgießschritten nach ⅓.

7 Allgemein

Der Umgießprozess funktioniert allgemein: wir gießen den Anteil 1/p des Inhaltes vom Becher A in den Becher B. Dann den Anteil 1/(p + 1) des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B zurück in den Becher A. Dann wiederum den Anteil 1/p des jetzigen Inhaltes des Bechers A in den Becher B. Dann wiederum den Anteil 1/(p + 1) des nunmehrigen Inhaltes des Bechers B zurück in den Becher A. Und so weiter und so fort.

Für den Inhalt des Messbechers A gilt, dass die Inhalte nach einer geraden Anzahl von Umgießschritten nach wie vor gegen ½ streben, nach einer ungeraden Anzahl von Umgießschritten gegen (p – 1)/(2p). Nachweis durch Rechnen.

Weblinks

Hans Walser: Unterteilung der Eins

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Unterteilung_der_Eins/Unterteilung_der_Eins.html