Hans Walser, [20250928]
Windrädchen
1 Worum es geht
Deformation von Windrädchen
Längeninvarianz
Flächeninvarianz
2 Konstruktion
Wir zeichnen eine Quadrat mit den Seiten (bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem) x = ±1 , y = ±1 . Das Quadrat hat die Seitenlänge 2 und den Flächeninhalt 4.
Dazu wählen wir einen beliebigen Punkt (Abb. 1).
Abb. 1: Startfigur
Zu diesem Punkt zeichnen wir vier rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke (Abb. 2). So entsteht ein (asymmetrisches) Windrädchen.
Abb. 2: Windrädchen
Kongruente Windrädchen können zu einem zweidimensionalen Raster zusammengesteckt werden (Abb. 3).
Abb. 3: Zweidimensionales Raster
3 Längeninvarianten
Die Summe sämtlicher Kathetenlängen der vier rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke ist gleich dem Umfang des Quadrates („Siehe“-Beweis).
Die Summe sämtlicher Hypotenusenlängen ist gleich der Summe der beiden Diagonalenlängen des Quadrates („Siehe“-Beweis).
4 Dreiecksflächen
Die Summe sämtlicher Dreiecksflächen ist nicht invariant.
4.1 Symmetrischer Fall
Wird der schwarze Punkt in der Mitte des Quadrates gewählt, ist die Summe der Dreiecksflächen gleich der halben Quadratfläche (Abb. 4). Das Windrädchen ist symmetrisch.
Abb. 4: Halbe Quadratfläche im symmetrischen Fall
Die Windrädchen können zu einem Parkett zusammengesteckt werden (Abb. 5).
Abb. 5: Parkett
4.2 Asymmetrisches Beispiel
Die Abbildung 6 gibt zum Beispiel der Abbildung 2 die Flächenangaben. Die Flächensumme ist größer als die halbe Quadratfläche.
Abb. 6: Flächenangaben
5 Etwas Rechnung
Wir arbeiten im kartesischen Koordinatensystem (Abb. 7). Der schwarze Punkt habe die Koordinaten (x, y).
Abb. 7: Rechnungsfigur
Für die rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecke erhalten wir folgende Flächeninhalte:
Flächeninhalt des roten Dreiecks = ½ (1 + y)2
Flächeninhalt des grünen Dreiecks = ½ (1 – x)2
Flächeninhalt des blauen Dreiecks = ½ (1 – y)2
Flächeninhalt des gelben Dreiecks = ½ (1 + x)2
Die Summe dieser Flächeninhalte ist:
Flächensumme = 2 + x2 + y2
6 Invariante Flächensumme
Die Flächensumme 2 + x2 + y2 ist invariant, wenn sich der schwarze Punkt auf einem Kreis um den Ursprung, also die Quadratmitte, bewegt.
Abb. 8: Invariante Flächensumme
Mit dem Kreisradius r erhalten wir die Flächensumme 2 + r2.
Im Folgenden zwei Sonderfälle.
6.1 Inkreis
Mit dem Radius r = 1 des Quadratinkreises erhalten wir die invariante Flächensumme 3 (Abb. 9).
Abb. 9: Inkreis
6.2 Umkreis
Mit dem Radius r = √2 (Umkreis) erhalten wir die invariante Flächensumme 4 (Abb. 10). Die Flächensumme ist also gleich dem Flächeninhalt des Quadrates. Die Dreiecke überlappen sich teilweise.
Abb. 10: Umkreis
Weblinks
Hans Walser: Viviani-Flächensatz
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viviani2/Viviani2.htm
Hans Walser: Der Satz von Viviani im Raum
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viviani_3d/Viviani_3d.htm
Hans Walser: Viviani im Simplex
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Viviani_Simplex/Viviani_Simplex.htm
Hans Walser: Windrädchen-Parkett
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Windraedchen-Parkett/Windraedchen-Parkett.html
Literatur
Vargyas, Emese und Walser, Hans (2015): Verallgemeinerung des Satzes von Viviani. MI, Mathematikinformation Nr. 63, 15. September 2015. ISSN 1612-9156. S. 3-10.