Hans Walser, [20251002]
Windrädchen
1 Worum es geht
Spielerei im regelmäßigen n-Seit
Flächeninvarianz
2 Konstruktion
Wir beginnen mit einem regelmäßigen n-Seit (Abb. 1 für n = 3), und wählen einen beliebigen Punkt.
Abb. 1: Dreiseit und Punkt
Nun zeichnen wir n rechtwinklige Dreiecke, welche je eine Kathete auf einer der n Seiten haben und beim gewählten Punkt einen Winkel 180°/n. Die Orientierung der rechtwinkligen Dreiecke sie windrädchenartig (Abb. 2).
Abb. 2: Windrädchen
3 Untersuchungsgegenstand
Wir setzen die Flächensumme der n roten rechtwinkligen Dreiecke ins Verhältnis v zum Flächeninhalt des durch die n Seiten definierten regelmäßige n-Ecks.
4 Ergebnisse
Die folgenden Ergebnisse sind nicht allgemein bewiesen, sondern lediglich experimentell mit dynamischer Geometrie-Software erarbeitet.
Die folgenden Ergebnisse sind unabhängig von n.
Für metrische Angaben wird ein Inreisradius 1 angenommen.
4.1 Minimum in der Mitte
Das Verhältnis v ist von der Position des gewählten schwarzen Punktes abhängig. Für den Mittelpunkt des regelmäßigen n-Ecks erhalten wir v = ½ (Abb. 3). Dies ist das minimal mögliche Verhältnis.
Abb. 3: Minimum in der Mitte
4.2 Verhältnisinvarianz auf einem Kreis
Für schwarze Punkte auf demselben Kreis um den Mittelpunkt ist das Verhältnis v invariant (Abb. 4). Die roten rechtwinkligen Dreiecke reichen teilweise aus dem gelben n-Eck heraus.
Drei Kreisradius r ist im Verhältnis zum Inkreisradius 1 zu verstehen.
Abb. 4: Invariantes Verhältnis auf einem Kreis
Es gilt die Formel:
v = ½ + ¼ r2
4.3 Inkreis
Für den schwarzen Punkt auf dem Inkreis des regelmäßigen n-Eckes ergibt sich v = ¾ (Abb. 5).
Abb. 5: Inkreis
4.4 Radius √2
Der Radius √2 ist für das Quadrat der Umkreisradius. Für die anderen regelmäßigen n-Ecke gilt dies nicht. Für den Radius √2 erhalten wir aber durchgehend v = 1, also Flächengleichheit (Abb. 6).
Abb. 6: Radius √2
5 Paritätsunterschied
Für gerades n kann es zu Überlappungen von rechtwinkligen Dreiecken kommen, für ungerades n nicht (Abb. 7 für n = 6 und n = 7).
Abb. 7: Gerade / ungerade
Weblinks
Hans Walser: Windrädchen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Windraedchen/Windraedchen.html
Hans Walser: Windrädchen-Parkett
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Windraedchen-Parkett/Windraedchen-Parkett.html