Hans Walser, [20251220]

Wurzel-5-Dreieck

1 Worum es geht

Spiel mit rechtwinkligen Dreiecken mit dem Seitenverhältnis 1:2:√5

Flächenanteile

Kreise und Goldener Schnitt

Pythagoreisches Dreieck mit Seitenverhältnis 3:4:5

2 Quadrat zerschneiden

Wir zerschneiden ein Quadrat in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke. Dies kann auf verschiedene Arten geschehen (Abb. 1). Die hellblauen Dreiecke sind anders orientiert als die gelben.

Abb. 1: Quadrat zerschneiden

Die rechtwinkligen Dreiecke haben das Seitenverhältnis 1:2:√5. Wegen der Zahl √5 ist der Goldene Schnitt Φ

Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618

nicht weit.

Für Maßangaben nehmen wir beim Quadrat die Seitenlänge 2 an. Die rechtwinkligen Dreiecke haben damit die Seiten 1, 2, und √5 sowie den Flächeninhalt 1.

3 Auslegen zum Quadrat

Wir können vier hellblaue Dreiecke zu einem Quadrat mit einem quadratischen Loch auslegen (Abb. 2).

Abb. 2: Quadrat mit quadratischem Loch

Das Quadrat hat die Seitenlänge 3 und damit die Gesamtfläche 9. Da jedes Dreieck den Flächeninhalt 1 hat, bleibt für das quadratische Loch der Flächeninhalt 5. Das quadratische Loch macht also flächenmäßig 5/9 des Gesamtquadrates aus.

Wir können die Dreiecke an den Hypotenusen-Mittelpunkten spiegeln (Abb. 3). Das übrigbleibende quadratische Loch hat noch den Flächeninhalt 1. Es macht also flächenmäßig ⅑ des Gesamtquadrates aus.

Abb. 3: Punktspiegelung an den Hypotenusen-Mittelpunkten

Statt an den Hypotenusen-Mittelpunkten können wir an den Hypotenusen spiegeln. Dabei ändert die Orientierung der Dreiecke (Abb. 4). Das übrigleibendende quadratische Loch hat nach wie vor den Flächeninhalt 1.

Abb. 4: Achsenspiegelung an den Hypotenusen

Bezogen auf das gelbe Quadrat (Abb. 5) hat das quadratische Loch den Flächenanteil ⅕. Das gelbe Quadrat wird also in fünf flächengleiche Teile unterteilt.

Abb. 5: Fünftelung des Quadrates

4 Kreise und Goldener Schnitt

Wir zeichnen den Umkreis des schrägstehenden Quadrates der Abbildung 3 und erhalten auf der Diagonalen des Gesamtquadrates den Goldenen Schnitt (Abb. 6). Die rote Strecke misst das Φ-fache der blauen Strecken. Wir verwenden jeweils die Farbe Rot für das lange, und die Farbe Blau für das kurze Stück. Die Sprechweise ist Major und Minor. Im Beispiel der Abbildung 6 haben wir die Reihenfolge Minor-Major-Minor („der Dicke in der Mitte“).

Abb. 6: Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt tritt auch weiter außen auf (Abb. 7). Aus den Minoren sind jetzt Majore geworden.

Abb. 7: Nochmals der Goldene Schnitt

Auch der Inkreis des schrägstehenden Quadrates führt zum Goldenen Schnitt (Abb. 8).

Abb. 8.1: Goldener Schnitt beim Inkreis

Abb. 8.2: Goldener Schnitt beim Inkreis

Abb. 8.3: Goldener Schnitt beim Inkreis

Um- und Inkreis des Lochquadrates der Abbildung 5 führen ebenfalls zum Goldenen Schnitt (Abb. 9).

Abb. 9.1: Umkreis des Lochquadrates

Abb. 9.2: Inkreis des Lochquadrates

5 Goldene Rechtecke

Wir legen die vier rechtwinklige Dreiecke, zwei hellblaue und zwei gelbe, zu einem Rechteck aus gemäß Abbildung 10.

Abb. 10: Rechteck aus vier Dreiecken

Die Seiten dieses Rechteckes stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes (Abb. 11). Die lange Seite ist das Φ-fache der kurzen Seite.

Abb. 11: Goldenes Rechteck

Auch das Lochrechteck ist ein Goldenes Rechteck (Abb. 12).

Abb. 12: Goldenes Loch-Rechteck

Das Gesamtrechteck und das Lochrechteck haben das Flächenverhältnis Φ²:1 ≈ 2.618:1.

6 Rhomben und Kreise

Wir legen die vier rechtwinkligen Dreiecke so aus, dass ein Rhombus als Lochviereck entsteht (Abb. 13). In diesen Rhombus zeichnen wir den Inkreis. Er zerlegt die lange Diagonale des Rhombus im Verhältnis des Goldenen Schnittes, und zwar in der Reihenfolge Minor-Major-Minor („der Dicke in der Mitte“).

Abb. 13: Rhombus und Inkreis

Die kurze Rhombendiagonale zerlegt den Rhombus in zwei gleichschenklige Dreiecke mit dem Seitenverhältnis 2:√5:√5 (Abb. 14). Durch Einzeichnen der Inkreise dieser beiden Dreiecke finden wir erneut den Goldenen Schnitt.

Abb. 14: Beide Diagonalen

Mit zwei weiteren Inkreisen finden wir den Goldenen Schnitt auf den Rhombenseiten (Abb. 15).

Abb. 15: Berührungspunkte auf den Rhombenseiten

7 Pythagoreisches Dreieck

Wir arbeiten mit dem Bausatz der Abbildung 16. Er besteht aus drei gelben, zwei hellblauen und einem zerschnittenen Dreieck.

Abb. 16: Bausatz

Die Dreiecke des Bausatzes können zu einem neuen rechtwinkligen Dreieck zusammengefügt werden (Abb. 17). Dabei muss das kleine grüne Dreieck spiegelbildlich eingesetzt werden. Das neue rechtwinklige Dreieck hat die Seiten 3, 4 und 5, ist also ein pythagoreisches Dreieck.

Abb. 17: Pythagoreisches Dreieck

Der Inkreis dieses pythagoreischen Dreiecks hat den Radius 1 (Abb. 18). Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf Knotenpunkten der Zerlegung.

Abb. 18: Inkreis

Wir finden nun erneut den Goldenen Schnitt (Abb. 19). Trägergerade ist eine Winkelhalbierende des pythagoreischen Dreiecks.

Abb. 19: Goldener Schnitt

Die beiden andern Winkelhalbierenden führen zum Goldenen Rechteck (Abb. 20).

Abb. 20: Goldenes Rechteck

8 Drachenviereck

Wir fügen zwei unserer Dreiecke zu einem Drachenviereck zusammen (Abb. 21).

Abb. 21: Drachenviereck

Zusammen mit dem Inkreis erhalten wir den Goldenen Schnitt (Abb. 22).

Abb. 22: Inkreis und Goldener Schnitt

Wir erhalten den Goldenen Schnitt auch mit zwei Kreisbögen (Abb. 23). Die Zentren der Kreisbögen sind die Drachenecken auf der Symmetrieachse.

Abb. 23: Kreisbögen und Goldener Schnitt

Auch mit dem Inkreis in jedem der beiden Dreiecke finden wir den Goldenen Schnitt (Abb. 24).

Abb. 24: Inkreis in jedem Dreieck

Weblinks

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke14/Pyth_Dreiecke14.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7