1 Worum es geht

Geometrische Zusammenhänge mit der Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke

2 Erinnerung

Mit u, v ∈ ℕ, u > v > 0, ggT(u, v) = 1, mod(u – v , 2) = 1 ist

(1) a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v²

ein primitives pythagoreisches Tripel. Die Zahlen u und v heißen die Parameter des pythagoreischen Tripels und des zugehörigen pythagoreischen Dreieckes.

3 Zusammenhang in ℂ

Es ist:

(2) (u + iv)² = = u² – v² + 2iuv = a + ib

4 Stützdreieck

Das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten u und v wird gelegentlich als Stützdreieck bezeichnet. Die Abbildung 1 zeigt das Stützdreieck und das zugehörige pythagoreische Dreieck für den Fall u = 2 und v = 1. Dabei ist a = 3, b = 4 und c = 5.

Abb. 1: Stützdreieck und pythagoreisches Dreieck

In der Situation der Abbildung 1 liegt die Hypotenuse des Stützdreiecks auf einer Winkelhalbierenden des zugehörigen pythagoreischen Dreiecks. Dies ergibt sich aus der komplexen Darstellung (2).

5 Flächenverhältnisse

Im Beispiel der Abbildung 1 ist der Flächeninhalt des pythagoreischen Dreiecks das Sechsfache des Flächeninhaltes des Stützdreiecks.

Für das Flächenverhältnis V der beiden Dreiecksflächen ergibt sich allgemein:

V = (½ ab) : (½ uv) = 2(u² – v²)

Das Flächenverhältnis ist das Doppelte der Maßzahl der Seite a.

6 Gemeinsame Zerlegungen

In den folgenden Beispielen ist jeweils eine gemeinsame Zerlegung des Stützdreiecks und des pythagoreischen Dreiecks eingezeichnet. Der Inkreismittelpunkt des pythagoreischen Dreiecks markiert einen “Systemwechsel“ der Parkettierung.

6.1 Erstes Beispiel

Die Abbildung 2.1 gibt für das Beispiel mit u = 2, v = 1 und a = 3, b = 4, c = 5 mit dem Flächenverhältnis V = 6 eine gemeinsame Zerlegung. Die Zerlegung besteht aus zwei Flächenteilen, welche im Stützdreieck je einmal und im pythagoreischen Dreieck je sechsmal vorkommen.

Abb. 2.1: Gemeinsame Zerlegung

Die Abbildung 2.2 zeigt eine Variante, welche aber drei Flächenteile benötigt.

Abb. 2.2: Variante

6.2 Zweites Beispiel

Die Abbildung 3 zeigt für das Beispiel mit u = 3, v = 2 und a = 5, b = 12, c = 13 mit dem Flächenverhältnis V = 10 eine gemeinsame Zerlegung. Die Zerlegung besteht aus drei Flächenteilen, welche im Stützdreieck je einmal und im pythagoreischen Dreieck je zehnmalmal vorkommen.

Abb. 3: Gemeinsame Zerlegung

6.3 Drittes Beispiel

Die Abbildung 4 zeigt für das Beispiel mit u = 4, v = 1 und a = 15, b = 8, c = 17 mit dem Flächenverhältnis V = 30 eine gemeinsame Zerlegung. Die Zerlegung besteht aus sechs Flächenteilen, welche im Stützdreieck je einmal und im pythagoreischen Dreieck je 30 Mal vorkommen. Wer Lust hat, darf nachzählen.

Abb. 4: Gemeinsame Zerlegung

6.4 Viertes Beispiel

Die Abbildung 5 zeigt für das Beispiel mit u = 4, v = 3 und a = 7, b = 24, c = 24 mit dem Flächenverhältnis V = 14 eine gemeinsame Zerlegung. Die Zerlegung besteht aus fünf Flächenteilen, welche im Stützdreieck je einmal und im pythagoreischen Dreieck je 14 Mal vorkommen.