Hans Walser, [20251115]

Pythagoreische Dreiecke

1 Worum geht es?

Geometrische Visualisierung der üblichen Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke

Konstruktion auf der Basis der beiden Parameter

2 Erinnerung

Mit u, v ∈ ℕ, u > v > 0, ggT(u, v) = 1, mod(u – v , 2) = 1 ist

(1) a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v²

ein primitives pythagoreisches Tripel. Die Zahlen u und v heißen die Parameter des pythagoreischen Tripels und des zugehörigen pythagoreischen Dreieckes.

3 Konstruktion

Zu gegebenen Parametern u und v konstruieren wir ein zugehöriges pythagoreisches Dreieck.

Die Abbildungen beziehen sich auf den Fall u = 3 und v = 2.

Wir beginnen mit einem rechteckigen Rahmen der Breite u und der Höhe 2v (Abb. 1).

Abb. 1: Rechteckiger Rahmen

In den Rahmen zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck mit der horizontalen Kathete u und der vertikalen Kathete v (rot in Abb. 2). Dieses aus den Parameterwerten u und v gebildete rechtwinklige Dreieck wird gelegentlich als „Stützdreieck“ des pythagoreischen Dreiecks bezeichnet.

Abb. 2: Stützdreieck

Wir zeichnen zwei weitere rechtwinklige Dreiecke ein (grün und hellblau in Abb. 3). Die drei nun eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich. Warum?

Abb. 3: Zwei weitere rechtwinklige Dreiecke

Das verbleibende rechtwinklige Dreieck (gelb in Abb. 4) hat das Seitenverhältnis des zu den Parametern u und v gehörenden Tripels.

Abb. 4: Pythagoreisches Dreieck

4 Nachweis

Wir berechnen die Katheten der rechtwinkligen Dreiecke.

Die obere horizontale Kathete des grünen Dreiecks hat die Länge v²/u.

Für die Länge der oberen horizontalen Kathete des gelben Dreiecks folgt daraus;

u – v²/u = (u² – v²)/u

Für das Kathetenverhältnis des gelben Dreiecks ergibt sich:

((u² – v²)/u) / (2v) = (u² – v²) / (2uv)

Dies entspricht dem Verhältnis a/b gemäß den Formeln (1).

5 Animation

Die Abbildung 5 zeigt die ersten 100 pythagoreischen Dreiecke gemäß unserer Konstruktion mit Angabe der Parameter [u, v].

Abb. 5: Die ersten pythagoreischen Dreiecke

Weblinks

Hans Walser: Pythagorean Triangles

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagorean_Triangles/Pythagorean_Triangles.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke/Pyth_Dreiecke.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke2/Pyth_Dreiecke2.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke3/Pyth_Dreiecke3.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke4/Pyth_Dreiecke4.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke5/Pyth_Dreiecke5.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke6/Pyth_Dreiecke6.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke7/Pyth_Dreiecke7.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke8/Pyth_Dreiecke8.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke9/Pyth_Dreiecke9.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke10/Pyth_Dreiecke10.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke11/Pyth_Dreiecke11.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke12/Pyth_Dreiecke12.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke falten

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dr_falten/Pyth_Dr_falten.htm